Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
260 g ArP = 750 kPaT = 35 °CV = ?

Welches Volumen V nehmen 260 g Ar bei 750 kPa und 35 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 260 gM = 39,95 g/molP = 750 kPaT = 35 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Ideales GasgesetzSchwer
CO₂, M = 44,01 g/molP = 100 kPaT = 70 °Cρ = ?

Bestimme die Dichte ρ von CO₂ bei 100 kPa und 70 °C als ideales Gas.

M = 44,01 g/molP = 100 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteEthanol · 120 °C80 °CWasser · 15 °Ct = ? °C

Heißes Ethanol kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 120 → 80 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 120 °C80 °CWasser · 25 °C75 °C · ṁ = ?5 % Verlust

Heißes Glykolgemisch erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 5 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 2 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 120 → 80 °Ct: 25 → 75 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 5 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 800 °CTL​ = 35 °CEQH​ = 3100 kJQL​W = ?

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 800 °C und einem kalten Reservoir mit 35 °C. Sie nimmt 3100 kJ Wärme auf. Bestimme die größtmögliche Arbeit Wmax, die sie liefern könnte.

TH = 800 °CTL = 35 °CQH = 3100 kJ
Wmax = kJ
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
TH​ = 21 °CTL​ = 0 °CHPQ̇H​ = 4 kWQ̇L​Ẇ = ?

Eine Wärmepumpe hält ein Haus auf 21 °C, während es draußen 0 °C sind, und liefert 4 kW Wärme an das Haus. Bestimme die minimale Antriebsleistung Ẇmin.

TH = 21 °CTL = 0 °CQ̇H = 4 kW
Ẇmin = kW
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 18 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 1,8. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 310 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme qin pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 18rc = 1,8T1 = 310 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 8. Die Luft tritt mit 300 K in den Verdichter und mit 1400 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 8T1 = 300 KT3 = 1400 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 22,23 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 260/39,95 = 6,508 mol
T = 35 + 273,15 = 308,1 K

Volumen

V = nRT/P = 6,508·8,314·308,1/750 = 22,23 L

Antwort

V = 22,23 L
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 1,543 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Dichte

ρ = 100·44,01/(8,314·343,1) = 1,543 kg/m³

Antwort

ρ = 1,543 kg/m³
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 26,67 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1,5·2,44·(120 − 80) = 146,4 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 146,4/(3·4,18) = 26,67 °C

Antwort

tout = 26,67 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 1,309 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 2·3,6·(120 − 80) = 288 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,05)·288 = 273,6 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 273,6/(4,18·50) = 1,309 kg/s

Antwort

ṁc = 1,309 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Wmax = 2210 kJ

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 800 + 273,15 = 1073 K
TL = 35 + 273,15 = 308,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 308,1/1073 = 71,29 %

Maximale Arbeit

Wmax = ηmax·QH = 0,7129·3100 = 2210 kJ

Antwort

Wmax = 2210 kJ
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇmin = 0,2856 kW

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 21 + 273,15 = 294,1 K
TL = 0 + 273,15 = 273,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 294,1/(294,1 − 273,1) = 14,01

Minimale Leistung

Die wenigste Arbeit braucht eine reversible Maschine, die die höchste Leistungszahl hat.

Ẇmin = Q̇H/COP = 4/14,01 = 0,2856 kW

Antwort

Ẇmin = 0,2856 kW
7.Gaskreisprozesse

Antwort: qin = 792 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Temperaturen

T2 = 310·180,4 = 985,1 K
T3 = 1,8·985,1 = 1773 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

qin = 1,005·(1773 − 985,1) = 792 kJ/kg

Antwort

qin = 792 kJ/kg
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 385,6 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2 = 300·80,2857 = 543,4 K
T4 = 1400/80,2857 = 772,9 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(543,4 − 300) = 244,7 kJ/kg
wt = 1,005·(1400 − 772,9) = 630,3 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 630,3 − 244,7 = 385,6 kJ/kg

Antwort

wnet = 385,6 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 38,82%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1