Federn & Pendel
- Federpendel
- T = 2π·√(m/k)
- Fadenpendel
- T = 2π·√(L/g)
- Kreisfrequenz
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energie
- E = ½·k·A²
Wellen und Optik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wellen, Schall & Optik
- Wellengeschwindigkeit
- v = fλ, T = 1/f
- Saite
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Schallpegel
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Punktquelle
- I = P/(4πr²)
- Stehende Wellen
- Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
- Doppler-Effekt
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Brechzahl
- n = c/v, λ = λ0/n
- Snelliussches Brechungsgesetz
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Grenzwinkel
- sin θc = n2/n1
- Glasfaser
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Linsen und Spiegel
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppelspalt
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Gitter
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Einzelspalt
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Methode
- Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
- Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
- Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.
2Übungsaufgaben
1.Federn & PendelMittel
Eine Masse von 1,2 kg an einer Feder mit k = 370 N/m wird 5 cm in positive Richtung ausgelenkt und bei t = 0 aus der Ruhe losgelassen. Bestimme ihre Auslenkung x aus der Ruhelage bei t = 0,2 s (mit Vorzeichen).
m = 1,2 kgk = 370 N/mA = 5 cmt = 0,2 s
x = cm
2.Federn & PendelSchwer
Ein Geschoss mit 12 g und 200 m/s trifft einen Klotz mit 2,5 kg, der auf einer reibungsfreien Fläche liegt, und bleibt darin stecken. Der Klotz ist an einer waagerechten Feder mit k = 1500 N/m befestigt. Bestimme die Amplitude A der entstehenden Schwingung in cm.
m = 12 gv = 200 m/sM = 2,5 kgk = 1500 N/m
A = cm
3.Wellen, Schall & OptikMittel
Ein Gegenstand steht 10 cm vor einer dünnen zerstreuenden Linse mit einer Brennweite von 8 cm. Bestimme den Abbildungsmaßstab m (negativ bei einem umgekehrten Bild).
do = 10 cmf = −8 cm
m =
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
Licht der Wellenlänge 633 nm fällt senkrecht auf ein Gitter mit 100 Linien pro Millimeter. Bestimme den Winkel θ3 des Maximums der Ordnung 3.
N = 100 mm⁻¹λ = 633 nmm = 3
θ3 = °
3Lösungen
1.Federn & Pendel
Antwort: x = −4,661 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Kreisfrequenz
ω = √(370/1,2) = 17,56 rad/s
ω·t = 17,56·0,2 = 3,512 rad
Weg
x = A·cos(ω·t) = 5·cos(3,512) = −4,661 cm
Antwort
x = −4,661 cm
2.Federn & Pendel
Antwort: A = 3,91 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Geschwindigkeit nach dem Aufprall
V = m·v/(m + M) = 0,012·200/2,512 = 0,9554 m/s
Kreisfrequenz
ω = √(k/(m + M)) = √(1500/2,512) = 24,44 rad/s
Amplitude
A = V/ω = 0,9554/24,44 = 0,0391 m = 3,91 cm
Antwort
A = 3,91 cm
3.Wellen, Schall & Optik
Antwort: m = 0,4444
Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.
Linsengleichung für dünne Linsen
1/di = 1/f − 1/do = 1/(−8) − 1/10
di = −4,444 cm
Abbildungsmaßstab
m = −di/do = −(−4,444)/10 = 0,4444
Antwort
m = 0,4444
4.Wellen, Schall & Optik
Antwort: θ3 = 10,95 °
Interferenz und Beugung: Licht aus zwei Spalten im Abstand d erreicht einen Punkt auf dem Schirm mit dem Gangunterschied d·sin θ. Helle Streifen erscheinen dort, wo d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Bei einem Schirm im Abstand L ≫ d liegt der m-te helle Streifen bei y = mλL/d, und der Streifenabstand ist Δy = λL/d. Ein Gitter mit N Linien pro Millimeter hat d = 1/N und scharfe Maxima bei d·sin θ = mλ; da sin θ ≤ 1, ist die höchste Ordnung die größte ganze Zahl m ≤ d/λ. Ein Einzelspalt der Breite a hat dunkle Streifen bei a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Linienabstand
d = 1/100 mm = 1 × 10⁻⁵ m
Gittergleichung
sin θ = mλ/d = 3·633 × 10⁻⁹/(1 × 10⁻⁵) = 0,1899
θ = 10,95°
Antwort
θ3 = 10,95°
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