Federn & Pendel
- Federpendel
- T = 2π·√(m/k)
- Fadenpendel
- T = 2π·√(L/g)
- Kreisfrequenz
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energie
- E = ½·k·A²
Wellen und Optik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wellen, Schall & Optik
- Wellengeschwindigkeit
- v = fλ, T = 1/f
- Saite
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Schallpegel
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Punktquelle
- I = P/(4πr²)
- Stehende Wellen
- Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
- Doppler-Effekt
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Brechzahl
- n = c/v, λ = λ0/n
- Snelliussches Brechungsgesetz
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Grenzwinkel
- sin θc = n2/n1
- Glasfaser
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Linsen und Spiegel
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppelspalt
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Gitter
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Einzelspalt
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Methode
- Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
- Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
- Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.
2Übungsaufgaben
1.Federn & PendelMittel
Eine Astronautin stellt auf einem anderen Planeten fest, dass ein Fadenpendel von 1,2 m Länge bei kleinen Auslenkungen eine Periodendauer von 2,06 s hat. Bestimme die Fallbeschleunigung g auf diesem Planeten.
L = 1,2 mT = 2,06 s
g = m/s²
2.Federn & PendelSchwer
Eine Masse von 2,5 kg wird am unteren Ende einer ungedehnten senkrechten Feder mit k = 500 N/m befestigt und aus der Ruhe losgelassen. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Geschwindigkeit vmax der Masse.
m = 2,5 kgk = 500 N/mg = 9,81 m/s²
vmax = m/s
3.Wellen, Schall & OptikMittel
Eine an beiden Enden offene Pfeife soll ihre Schwingung „4. Harmonische“ bei 457 Hz haben. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 343 m/s. Bestimme die Länge L der Pfeife.
v = 343 m/sn = 4f4 = 457 Hz
L = m
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
Zwei dünne Linsen haben dieselbe Achse und 15 cm Abstand: Linse 1 mit f₁ = 12 cm und Linse 2 mit f₂ = 5 cm. Ein Gegenstand steht 25 cm vor Linse 1. Bestimme die Lage di2 des endgültigen Bildes, von Linse 2 aus gemessen (positiv hinter Linse 2, Konvention: reell ist positiv).
f1 = 12 cmf2 = 5 cms = 15 cmdo = 25 cm
di2 = cm
3Lösungen
1.Federn & Pendel
Antwort: g = 11,16 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Nach g auflösen
g = 4π²·L/T² = 4π²·1,2/2,06² = 11,16 m/s²
Antwort
g = 11,16 m/s²
2.Federn & Pendel
Antwort: vmax = 0,6937 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Gleichgewichtslage und Amplitude
x₀ = m·g/k = 2,5·9,81/500 = 0,04905 m = A
Größte Geschwindigkeit
Die Geschwindigkeit ist in der Gleichgewichtslage am größten.
ω = √(500/2,5) = 14,14 rad/s
vmax = A·ω = 0,04905·14,14 = 0,6937 m/s
Antwort
vmax = 0,6937 m/s
3.Wellen, Schall & Optik
Antwort: L = 1,501 m
Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, fn = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.
Wellenlänge
λ = v/f = 343/457 = 0,7505 m
Länge
L = nλ/2 = 4·0,7505/2 = 1,501 m
Antwort
L = 1,501 m
4.Wellen, Schall & Optik
Antwort: di2 = 3,088 cm
Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.
Bild von Linse 1
1/di1 = 1/12 − 1/25 → di1 = 23,08 cm
Gegenstand für Linse 2
do2 = 15 − 23,08 = −8,077 cm
Endgültiges Bild
1/di2 = 1/5 − 1/(−8,077) → di2 = 3,088 cm
Antwort
di2 = 3,088 cm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics