Wellen und Optik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Federn & Pendel

Federpendel
T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel
T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz
ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energie
E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit
v = fλ, T = 1/f
Saite
v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle
I = P/(4πr²)
Stehende Wellen
Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Brechzahl
n = c/v, λ = λ0/n
Snelliussches Brechungsgesetz
n1sin θ1 = n2sin θ2
Grenzwinkel
sin θc = n2/n1
Glasfaser
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Linsen und Spiegel
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Doppelspalt
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Gitter
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Einzelspalt
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

  1. Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
  2. Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
  4. Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.Federn & PendelMittel
3,8 kgk = 240 N/mA = 15 cmx = 14 cm

Eine Masse von 3,8 kg an einer Feder mit k = 240 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 15 cm. Bestimme ihre Geschwindigkeit v, wenn sie 14 cm von der Ruhelage entfernt ist.

m = 3,8 kgk = 240 N/mA = 15 cmx = 14 cm
v = m/s
2.Federn & PendelSchwer
2,1 kgk = 280 N/mA = 16 cm

Eine Masse von 2,1 kg an einer Feder mit k = 280 N/m wird um 16 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme ihre maximale Geschwindigkeit vmax.

m = 2,1 kgk = 280 N/mA = 16 cm
vmax = m/s
3.Wellen, Schall & OptikMittel
L = 0,8 mn = 5

Eine an beiden Enden offene Pfeife ist 0,8 m lang. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 343 m/s. Bestimme die Frequenz f5 ihrer Schwingung „5. Harmonische“.

v = 343 m/sn = 5L = 0,8 m
f5 = Hz
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
λ = ?d = 0,2 mmL = 3 m21,6 mm

Zwei Spalte im Abstand von 0,2 mm werden mit monochromatischem Licht beleuchtet. Auf einem Schirm in 3 m Entfernung liegt der helle Streifen Nummer 3 21,6 mm vom zentralen Streifen entfernt. Bestimme die Wellenlänge λ.

d = 0,2 mmL = 3 my3 = 21,6 mmm = 3
λ = nm

3Lösungen

1.Federn & Pendel

Antwort: v = 0,428 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(240/3,8) = 7,947 rad/s

Geschwindigkeit bei x

v = ω·√(A² − x²) = 7,947·√(0,15² − 0,14²) = 0,428 m/s

Antwort

v = 0,428 m/s
2.Federn & Pendel

Antwort: vmax = 1,848 m/s

Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(280/2,1) = 11,55 rad/s

Maximale Geschwindigkeit

vmax = A·ω = 0,16·11,55 = 1,848 m/s

Antwort

vmax = 1,848 m/s
3.Wellen, Schall & Optik

Antwort: f5 = 1072 Hz

Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, fn = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.

Wellenlänge dieser Schwingung

λ = 2L/n = 2·0,8/5 = 0,32 m

Frequenz

f = v/λ = 343/0,32 = 1072 Hz

Antwort

f5 = 1072 Hz
4.Wellen, Schall & Optik

Antwort: λ = 480 nm

Interferenz und Beugung: Licht aus zwei Spalten im Abstand d erreicht einen Punkt auf dem Schirm mit dem Gangunterschied d·sin θ. Helle Streifen erscheinen dort, wo d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Bei einem Schirm im Abstand L ≫ d liegt der m-te helle Streifen bei y = mλL/d, und der Streifenabstand ist Δy = λL/d. Ein Gitter mit N Linien pro Millimeter hat d = 1/N und scharfe Maxima bei d·sin θ = mλ; da sin θ ≤ 1, ist die höchste Ordnung die größte ganze Zahl m ≤ d/λ. Ein Einzelspalt der Breite a hat dunkle Streifen bei a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Wellenlänge

λ = y·d/(mL) = 0,0216·0,0002/(3·3) = 4,8 × 10⁻⁷ m = 480 nm

Antwort

λ = 480 nm

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