Wellen und Optik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Federn & Pendel

Federpendel
T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel
T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz
ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energie
E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit
v = fλ, T = 1/f
Saite
v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle
I = P/(4πr²)
Stehende Wellen
Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Brechzahl
n = c/v, λ = λ0/n
Snelliussches Brechungsgesetz
n1sin θ1 = n2sin θ2
Grenzwinkel
sin θc = n2/n1
Glasfaser
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Linsen und Spiegel
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Doppelspalt
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Gitter
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Einzelspalt
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

  1. Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
  2. Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
  4. Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.Federn & PendelMittel
L = 1,3 m

Ein Fadenpendel hat eine Länge von 1,3 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme seine Periodendauer T für kleine Auslenkungen.

L = 1,3 mg = 9,81 m/s²
T = s
2.Federn & PendelSchwer
1 kgk = 800 N/m450 m/s

Ein Geschoss mit 10 g und 450 m/s trifft einen Klotz mit 1 kg, der auf einer reibungsfreien Fläche liegt, und bleibt darin stecken. Der Klotz ist an einer waagerechten Feder mit k = 800 N/m befestigt. Bestimme die Amplitude A der entstehenden Schwingung in cm.

m = 10 gv = 450 m/sM = 1 kgk = 800 N/m
A = cm
3.Wellen, Schall & OptikMittel
θc = ?90°Acrylglas, n1​ = 1,49Ethanol, n2​ = 1,36

Licht trifft in Acrylglas (n = 1,49) auf eine ebene Grenzfläche zu Ethanol (n = 1,36). Bestimme den Grenzwinkel θc, ab dem es total reflektiert wird.

n1 = 1,49n2 = 1,36
θc = °
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
λ = 650 nma = 0,12 mmL = 3 m

Licht der Wellenlänge 650 nm geht durch einen Einzelspalt der Breite 0,12 mm. Bestimme die Breite w des zentralen hellen Maximums auf einem Schirm in 3 m Entfernung (zwischen den ersten dunklen Streifen auf beiden Seiten).

λ = 650 nma = 0,12 mmL = 3 m
w = mm

3Lösungen

1.Federn & Pendel

Antwort: T = 2,287 s

Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².

Periodendauer des Pendels

T = 2π·√(1,3/9,81) = 2,287 s

Antwort

T = 2,287 s
2.Federn & Pendel

Antwort: A = 15,83 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Geschwindigkeit nach dem Aufprall

V = m·v/(m + M) = 0,01·450/1,01 = 4,455 m/s

Kreisfrequenz

ω = √(k/(m + M)) = √(800/1,01) = 28,14 rad/s

Amplitude

A = V/ω = 4,455/28,14 = 0,1583 m = 15,83 cm

Antwort

A = 15,83 cm
3.Wellen, Schall & Optik

Antwort: θc = 65,89 °

Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.

Brechung bei 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,36/1,49 = 0,9128

Grenzwinkel

θc = arcsin(0,9128) = 65,89°

Antwort

θc = 65,89°
4.Wellen, Schall & Optik

Antwort: w = 32,5 mm

Interferenz und Beugung: Licht aus zwei Spalten im Abstand d erreicht einen Punkt auf dem Schirm mit dem Gangunterschied d·sin θ. Helle Streifen erscheinen dort, wo d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Bei einem Schirm im Abstand L ≫ d liegt der m-te helle Streifen bei y = mλL/d, und der Streifenabstand ist Δy = λL/d. Ein Gitter mit N Linien pro Millimeter hat d = 1/N und scharfe Maxima bei d·sin θ = mλ; da sin θ ≤ 1, ist die höchste Ordnung die größte ganze Zahl m ≤ d/λ. Ein Einzelspalt der Breite a hat dunkle Streifen bei a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Erster dunkler Streifen

y₁ = λL/a = 650 × 10⁻⁹·3/(0,12 × 10⁻³) = 16,25 mm

Breite des zentralen Maximums

w = 2y₁ = 32,5 mm

Antwort

w = 32,5 mm

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