Federn & Pendel
- Federpendel
- T = 2π·√(m/k)
- Fadenpendel
- T = 2π·√(L/g)
- Kreisfrequenz
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energie
- E = ½·k·A²
Wellen und Optik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wellen, Schall & Optik
- Wellengeschwindigkeit
- v = fλ, T = 1/f
- Saite
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Schallpegel
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Punktquelle
- I = P/(4πr²)
- Stehende Wellen
- Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
- Doppler-Effekt
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Brechzahl
- n = c/v, λ = λ0/n
- Snelliussches Brechungsgesetz
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Grenzwinkel
- sin θc = n2/n1
- Glasfaser
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Linsen und Spiegel
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppelspalt
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Gitter
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Einzelspalt
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Methode
- Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
- Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
- Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.
2Übungsaufgaben
1.Federn & PendelMittel
Eine Masse von 1 kg an einer Feder mit k = 400 N/m wird 3 cm in positive Richtung ausgelenkt und bei t = 0 aus der Ruhe losgelassen. Bestimme ihre Auslenkung x aus der Ruhelage bei t = 1,1 s (mit Vorzeichen).
m = 1 kgk = 400 N/mA = 3 cmt = 1,1 s
x = cm
2.Federn & PendelSchwer
Eine Masse von 3,1 kg an einer Feder mit k = 260 N/m wird um 6 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme ihre maximale Beschleunigung amax.
m = 3,1 kgk = 260 N/mA = 6 cm
amax = m/s²
3.Wellen, Schall & OptikMittel
Ein kleiner Lautsprecher strahlt 0,5 W Schallleistung gleichmäßig in alle Richtungen ab. Bestimme den Schallpegel β in 3 m Entfernung.
P = 0,5 Wr = 3 mI0 = 10⁻¹² W/m²
β = dB
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
Licht der Wellenlänge 450 nm geht durch einen Einzelspalt der Breite 0,08 mm. Bestimme den Winkel θ3 des dunklen Streifens Nummer 3 zur Geradeausrichtung.
λ = 450 nma = 0,08 mmm = 3
θ3 = °
3Lösungen
1.Federn & Pendel
Antwort: x = −3 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Kreisfrequenz
ω = √(400/1) = 20 rad/s
ω·t = 20·1,1 = 22 rad
Weg
x = A·cos(ω·t) = 3·cos(22) = −3 cm
Antwort
x = −3 cm
2.Federn & Pendel
Antwort: amax = 5,032 m/s²
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Kreisfrequenz
ω = √(260/3,1) = 9,158 rad/s
Maximale Beschleunigung
amax = A·ω² = 0,06·9,158² = 5,032 m/s²
Antwort
amax = 5,032 m/s²
3.Wellen, Schall & Optik
Antwort: β = 96,46 dB
Wellen: Eine periodische Welle legt in einer Periode eine Wellenlänge zurück, also v = fλ mit T = 1/f. Auf einer gespannten Saite ist v = √(T/μ), wobei T die Spannkraft und μ = m/L die Masse pro Meter ist. Schall in Luft breitet sich bei 20 °C mit etwa 343 m/s aus, Licht im Vakuum mit c = 3,00 × 10⁸ m/s. Die Lautstärke wird auf einer logarithmischen Skala gemessen: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB mit I₀ = 10⁻¹² W/m², sodass die zehnfache Intensität 10 dB addiert. Eine Punktquelle verteilt ihre Leistung P über eine Kugel: I = P/(4πr²).
Intensität
I = P/(4πr²) = 0,004421 W/m²
Stufe
β = 10·log₁₀(0,004421/10⁻¹²) = 96,46 dB
Antwort
β = 96,46 dB
4.Wellen, Schall & Optik
Antwort: θ3 = 0,9669 °
Interferenz und Beugung: Licht aus zwei Spalten im Abstand d erreicht einen Punkt auf dem Schirm mit dem Gangunterschied d·sin θ. Helle Streifen erscheinen dort, wo d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Bei einem Schirm im Abstand L ≫ d liegt der m-te helle Streifen bei y = mλL/d, und der Streifenabstand ist Δy = λL/d. Ein Gitter mit N Linien pro Millimeter hat d = 1/N und scharfe Maxima bei d·sin θ = mλ; da sin θ ≤ 1, ist die höchste Ordnung die größte ganze Zahl m ≤ d/λ. Ein Einzelspalt der Breite a hat dunkle Streifen bei a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Bedingung für dunkle Streifen
sin θ = mλ/a = 0,01687
θ = 0,9669°
Antwort
θ3 = 0,9669°
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