Wellen und Optik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Federn & Pendel

Federpendel: T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel: T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz: ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energie: E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit: v = fλ, T = 1/f
Saite: v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle: I = P/(4πr²)
Stehende Wellen: Saite oder offene Pfeife f_n = n·v/(2L); geschlossene Pfeife f_n = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Brechzahl: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelliussches Brechungsgesetz: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Grenzwinkel: sin θ_c = n₂/n₁
Glasfaser: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Linsen und Spiegel: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doppelspalt: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gitter: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Einzelspalt: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.Federn & PendelMittel

Eine Astronautin stellt auf einem anderen Planeten fest, dass ein Fadenpendel von 0,8 m Länge bei kleinen Auslenkungen eine Periodendauer von 4,42 s hat. Bestimme die Fallbeschleunigung g auf diesem Planeten.

L = 0,8 mT = 4,42 s

g = m/s²

2.Federn & PendelSchwer

Eine Masse an einer Feder mit k = 20 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 4 cm. Bestimme die in der Feder gespeicherte Energie U, wenn die Masse 2 cm von der Ruhelage entfernt ist.

k = 20 N/mA = 4 cmx = 2 cm

U = J

3.Wellen, Schall & OptikMittel

Eine einseitig geschlossene Pfeife ist 1 m lang. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 343 m/s. Bestimme die Frequenz f₅ ihrer Schwingung „5. Harmonische“.

v = 343 m/sn = 5L = 1 m

f₅ = Hz

4.Wellen, Schall & OptikSchwer

Ein Gegenstand steht 5 cm vor einem konvexen Spiegel mit dem Krümmungsradius 50 cm. Bestimme den Abbildungsmaßstab m (negativ bei einem umgekehrten Bild).

d_o = 5 cmR = 50 cm

m =

3Lösungen

1.Federn & Pendel

Antwort: g = 1,617 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Nach g auflösen

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,8/4,42² = 1,617 m/s²

Antwort

g = 1,617 m/s²

2.Federn & Pendel

Antwort: U = 0,004 J

Gesamtenergie

E = ½·k·A² = ½·20·0,04² = 0,016 J

Federenergie bei x

U = ½·k·x² = ½·20·0,02² = 0,004 J

Antwort

U = 0,004 J

3.Wellen, Schall & Optik

Antwort: f₅ = 428,8 Hz

Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, f_n = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.

Wellenlänge dieser Schwingung

λ = 4L/n = 4·1/5 = 0,8 m

Frequenz

f = v/λ = 343/0,8 = 428,8 Hz

Antwort

f₅ = 428,8 Hz

4.Wellen, Schall & Optik

Antwort: m = 0,8333

Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θ_c = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/d_o + 1/d_i mit dem Abbildungsmaßstab m = −d_i/d_o. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; d_i > 0 für ein reelles Bild, d_i < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.

Brennweite

f = −R/2 = −25 cm

Spiegelgleichung

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−25) − 1/5

d_i = −4,167 cm

Abbildungsmaßstab

m = −(−4,167)/5 = 0,8333

Antwort

m = 0,8333

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