Wellen und Optik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Federn & Pendel

Federpendel
T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel
T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz
ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energie
E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit
v = fλ, T = 1/f
Saite
v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle
I = P/(4πr²)
Stehende Wellen
Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Brechzahl
n = c/v, λ = λ0/n
Snelliussches Brechungsgesetz
n1sin θ1 = n2sin θ2
Grenzwinkel
sin θc = n2/n1
Glasfaser
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Linsen und Spiegel
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Doppelspalt
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Gitter
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Einzelspalt
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

  1. Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
  2. Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
  4. Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.Federn & PendelMittel
1,5 kgk = 410 N/mA = 19 cmx = 5 cm

Eine Masse von 1,5 kg an einer Feder mit k = 410 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 19 cm. Bestimme ihre Geschwindigkeit v, wenn sie 5 cm von der Ruhelage entfernt ist.

m = 1,5 kgk = 410 N/mA = 19 cmx = 5 cm
v = m/s
2.Federn & PendelSchwer
t (s)x (cm)t = ?3,2

Ein Körper führt eine harmonische Schwingung mit der Periodendauer 3,5 s und der Amplitude 8 cm aus. Welche kürzeste Zeit t braucht er, um sich von der Ruhelage bis zu einer Auslenkung von 3,2 cm zu bewegen?

T = 3,5 sA = 8 cmx = 3,2 cm
t = s
3.Wellen, Schall & OptikMittel
FFdo​ = 15 cmf = 25 cm

Ein Gegenstand steht 15 cm vor einer dünnen sammelnden Linse mit einer Brennweite von 25 cm. Bestimme die Bildweite di. Verwende die Vorzeichenkonvention 1/f = 1/do + 1/di (f < 0 für eine Zerstreuungslinse, di < 0 für ein virtuelles Bild).

do = 15 cmf = 25 cm
di = cm
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
Fdo​ = 4 cmR = 40 cm

Ein Gegenstand steht 4 cm vor einem konvexen Spiegel mit dem Krümmungsradius 40 cm. Bestimme die Bildweite di, positiv für ein Bild vor dem Spiegel (reell) und negativ für eines hinter ihm (virtuell).

do = 4 cmR = 40 cm
di = cm

3Lösungen

1.Federn & Pendel

Antwort: v = 3,031 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(410/1,5) = 16,53 rad/s

Geschwindigkeit bei x

v = ω·√(A² − x²) = 16,53·√(0,19² − 0,05²) = 3,031 m/s

Antwort

v = 3,031 m/s
2.Federn & Pendel

Antwort: t = 0,2292 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = 2π/T = 2π/3,5 = 1,795 rad/s

Nach der Zeit auflösen

0,4 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,4) = 0,4115 rad
t = 0,4115/1,795 = 0,2292 s

Antwort

t = 0,2292 s
3.Wellen, Schall & Optik

Antwort: di = −37,5 cm

Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.

Linsengleichung für dünne Linsen

1/di = 1/f − 1/do = 1/25 − 1/15
di = −37,5 cm
FF15 cmf = 25 cm

Strahlendiagramm

virtuell, auf derselben Seite wie der Gegenstand

Antwort

di = −37,5 cm
4.Wellen, Schall & Optik

Antwort: di = −3,333 cm

Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.

Brennweite

f = −R/2 = −20 cm

Spiegelgleichung

1/di = 1/f − 1/do = 1/(−20) − 1/4
di = −3,333 cm
F4 cmf = −20 cm

Strahlendiagramm

virtuelles Bild hinter dem Spiegel

Antwort

di = −3,333 cm

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