Wellen und Optik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Federn & Pendel

Federpendel: T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel: T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz: ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energie: E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit: v = fλ, T = 1/f
Saite: v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle: I = P/(4πr²)
Stehende Wellen: Saite oder offene Pfeife f_n = n·v/(2L); geschlossene Pfeife f_n = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Brechzahl: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelliussches Brechungsgesetz: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Grenzwinkel: sin θ_c = n₂/n₁
Glasfaser: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Linsen und Spiegel: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doppelspalt: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gitter: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Einzelspalt: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.Federn & PendelMittel

Eine Masse von 2,8 kg an einer Feder mit k = 90 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 11 cm. Bestimme ihre Geschwindigkeit v, wenn sie 1 cm von der Ruhelage entfernt ist.

m = 2,8 kgk = 90 N/mA = 11 cmx = 1 cm

v = m/s

2.Federn & PendelSchwer

Eine Masse von 0,7 kg an einer Feder mit k = 450 N/m wird um 7 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme ihre maximale Geschwindigkeit v_max.

m = 0,7 kgk = 450 N/mA = 7 cm

v_max = m/s

3.Wellen, Schall & OptikMittel

Ein 5 cm hoher Gegenstand steht 20 cm vor einer dünnen sammelnden Linse mit einer Brennweite von 30 cm. Bestimme die Bildhöhe h_i (negativ bei einem umgekehrten Bild).

h_o = 5 cmd_o = 20 cmf = 30 cm

h_i = cm

4.Wellen, Schall & OptikSchwer

Ein ruhender Parksensor sendet Ultraschall von 20 kHz auf ein Auto, das sich mit 15 m/s nähert. Bestimme die Frequenz f″ des Echos, das am Sensor zurück empfangen wird (Schallgeschwindigkeit 343 m/s).

f = 20 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Lösungen

1.Federn & Pendel

Antwort: v = 0,6211 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(90/2,8) = 5,669 rad/s

Geschwindigkeit bei x

v = ω·√(A² − x²) = 5,669·√(0,11² − 0,01²) = 0,6211 m/s

Antwort

v = 0,6211 m/s

2.Federn & Pendel

Antwort: v_max = 1,775 m/s

Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(450/0,7) = 25,35 rad/s

Maximale Geschwindigkeit

v_max = A·ω = 0,07·25,35 = 1,775 m/s

Antwort

v_max = 1,775 m/s

3.Wellen, Schall & Optik

Antwort: h_i = 15 cm

Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θ_c = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/d_o + 1/d_i mit dem Abbildungsmaßstab m = −d_i/d_o. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; d_i > 0 für ein reelles Bild, d_i < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.

Linsengleichung für dünne Linsen

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/20

d_i = −60 cm

Abbildungsmaßstab und Höhe

m = −(−60)/20 = 3

h_i = 3·5 = 15 cm

Antwort

h_i = 15 cm

4.Wellen, Schall & Optik

Antwort: f″ = 21829 Hz

Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, f_n = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.

Frequenz am Auto

f′ = 20000·(343 + 15)/343 = 20875 Hz

Frequenz des Echos

f″ = f′·343/(343 − 15) = 21829 Hz

Antwort

f″ = 21829 Hz

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