Wellen und Optik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Federn & Pendel

Federpendel
T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel
T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz
ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energie
E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit
v = fλ, T = 1/f
Saite
v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle
I = P/(4πr²)
Stehende Wellen
Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Brechzahl
n = c/v, λ = λ0/n
Snelliussches Brechungsgesetz
n1sin θ1 = n2sin θ2
Grenzwinkel
sin θc = n2/n1
Glasfaser
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Linsen und Spiegel
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Doppelspalt
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Gitter
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Einzelspalt
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

  1. Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
  2. Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
  4. Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.Federn & PendelMittel
t (s)x (cm)0,8 s

Eine Masse von 0,7 kg an einer Feder mit k = 360 N/m wird 14 cm in positive Richtung ausgelenkt und bei t = 0 aus der Ruhe losgelassen. Bestimme ihre Auslenkung x aus der Ruhelage bei t = 0,8 s (mit Vorzeichen).

m = 0,7 kgk = 360 N/mA = 14 cmt = 0,8 s
x = cm
2.Federn & PendelSchwer
0,6 kgk = 290 N/mA = 19 cm

Eine Masse von 0,6 kg an einer Feder mit k = 290 N/m wird um 19 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme ihre maximale Geschwindigkeit vmax.

m = 0,6 kgk = 290 N/mA = 19 cm
vmax = m/s
3.Wellen, Schall & OptikMittel
38°90°n1​ = ?Ethanol, n2​ = 1,36

Licht im Inneren eines durchsichtigen Blocks wird an der Grenzfläche zu Ethanol (n = 1,36) für jeden Einfallswinkel über 38° total reflektiert. Bestimme die Brechzahl n1 des Blocks.

θc = 38°n2 = 1,36
n1 =
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
f1​ = 12 cmf2​ = 15 cm50 cm10 cm

Zwei dünne Linsen haben dieselbe Achse und 10 cm Abstand: Linse 1 mit f₁ = 12 cm und Linse 2 mit f₂ = 15 cm. Ein Gegenstand steht 50 cm vor Linse 1. Bestimme die Lage di2 des endgültigen Bildes, von Linse 2 aus gemessen (positiv hinter Linse 2, Konvention: reell ist positiv).

f1 = 12 cmf2 = 15 cms = 10 cmdo = 50 cm
di2 = cm

3Lösungen

1.Federn & Pendel

Antwort: x = 10,64 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(360/0,7) = 22,68 rad/s
ω·t = 22,68·0,8 = 18,14 rad

Weg

x = A·cos(ω·t) = 14·cos(18,14) = 10,64 cm

Antwort

x = 10,64 cm
2.Federn & Pendel

Antwort: vmax = 4,177 m/s

Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(290/0,6) = 21,98 rad/s

Maximale Geschwindigkeit

vmax = A·ω = 0,19·21,98 = 4,177 m/s

Antwort

vmax = 4,177 m/s
3.Wellen, Schall & Optik

Antwort: n1 = 2,209

Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.

Brechzahl des Blocks

n₁ = n₂/sin θc = 1,36/0,6157 = 2,209

Antwort

n1 = 2,209
4.Wellen, Schall & Optik

Antwort: di2 = 4,177 cm

Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.

Bild von Linse 1

1/di1 = 1/12 − 1/50 → di1 = 15,79 cm

Gegenstand für Linse 2

do2 = 10 − 15,79 = −5,789 cm

Endgültiges Bild

1/di2 = 1/15 − 1/(−5,789) → di2 = 4,177 cm

Antwort

di2 = 4,177 cm

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