Wellen und Optik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Federn & Pendel

Federpendel: T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel: T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz: ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energie: E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit: v = fλ, T = 1/f
Saite: v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle: I = P/(4πr²)
Stehende Wellen: Saite oder offene Pfeife f_n = n·v/(2L); geschlossene Pfeife f_n = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Brechzahl: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelliussches Brechungsgesetz: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Grenzwinkel: sin θ_c = n₂/n₁
Glasfaser: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Linsen und Spiegel: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doppelspalt: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gitter: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Einzelspalt: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.Federn & PendelMittel

Eine Masse von 0,4 kg an einer Feder mit k = 310 N/m wird 9 cm in positive Richtung ausgelenkt und bei t = 0 aus der Ruhe losgelassen. Bestimme ihre Auslenkung x aus der Ruhelage bei t = 0,5 s (mit Vorzeichen).

m = 0,4 kgk = 310 N/mA = 9 cmt = 0,5 s

x = cm

2.Federn & PendelSchwer

Eine Masse von 1,6 kg an einer Feder mit k = 240 N/m wird um 12 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme ihre maximale Beschleunigung a_max.

m = 1,6 kgk = 240 N/mA = 12 cm

a_max = m/s²

3.Wellen, Schall & OptikMittel

Ein kleiner Lautsprecher strahlt 2 W Schallleistung gleichmäßig in alle Richtungen ab. Bestimme den Schallpegel β in 10 m Entfernung.

P = 2 Wr = 10 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

4.Wellen, Schall & OptikSchwer

Ein ruhender Parksensor sendet Ultraschall von 35 kHz auf ein Auto, das sich mit 20 m/s nähert. Bestimme die Frequenz f″ des Echos, das am Sensor zurück empfangen wird (Schallgeschwindigkeit 343 m/s).

f = 35 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Lösungen

1.Federn & Pendel

Antwort: x = 1,944 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(310/0,4) = 27,84 rad/s

ω·t = 27,84·0,5 = 13,92 rad

Weg

x = A·cos(ω·t) = 9·cos(13,92) = 1,944 cm

Antwort

x = 1,944 cm

2.Federn & Pendel

Antwort: a_max = 18 m/s²

Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(240/1,6) = 12,25 rad/s

Maximale Beschleunigung

a_max = A·ω² = 0,12·12,25² = 18 m/s²

Antwort

a_max = 18 m/s²

3.Wellen, Schall & Optik

Antwort: β = 92,02 dB

Wellen: Eine periodische Welle legt in einer Periode eine Wellenlänge zurück, also v = fλ mit T = 1/f. Auf einer gespannten Saite ist v = √(T/μ), wobei T die Spannkraft und μ = m/L die Masse pro Meter ist. Schall in Luft breitet sich bei 20 °C mit etwa 343 m/s aus, Licht im Vakuum mit c = 3,00 × 10⁸ m/s. Die Lautstärke wird auf einer logarithmischen Skala gemessen: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB mit I₀ = 10⁻¹² W/m², sodass die zehnfache Intensität 10 dB addiert. Eine Punktquelle verteilt ihre Leistung P über eine Kugel: I = P/(4πr²).

Intensität

I = P/(4πr²) = 0,001592 W/m²

Stufe

β = 10·log₁₀(0,001592/10⁻¹²) = 92,02 dB

Antwort

β = 92,02 dB

4.Wellen, Schall & Optik

Antwort: f″ = 39334 Hz

Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, f_n = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.

Frequenz am Auto

f′ = 35000·(343 + 20)/343 = 37041 Hz

Frequenz des Echos

f″ = f′·343/(343 − 20) = 39334 Hz

Antwort

f″ = 39334 Hz

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