1.Leicht
Bestimme für die Gleichung y″ + 5y′ + 6y = 0 die Wurzel r der charakteristischen Gleichung, die am nächsten bei null liegt. Sie bestimmt, wie langsam die Lösung abklingt.
y″ + 5y′ + 6y = 0
r =
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Eine Bakterienkultur beginnt mit 5000 Zellen und wächst nach dN/dt = k·N mit k = 0,29 h⁻¹. Nach wie vielen Stunden t sind es 50000 Zellen?
N0 = 5000k = 0,29 h⁻¹N = 50000
t = h
3.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 340 °C kühlt in einer Werkstatt mit 28 °C ab. Nach 28 min beträgt die Temperatur 130 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 277 °C erreicht sind?
T0 = 340 °CTa = 28 °CT(28) = 130 °CT = 277 °C
t = min
4.Mittel
Eine Getränkedose mit 5 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 30 °C gebracht. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,1 min⁻¹ die Temperatur T nach 18 min.
T0 = 5 °CTa = 30 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 18 min
T = °C
5.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 4y′ + 29y = 58 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 4y′ + 29y = 58y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Schwer
Löse das Anfangswertproblem y′ + 3y/x = 6x2 für x > 0 mit y(1) = 3. Bestimme y(3).
y′ + 3y/x = 6x2y(1) = 3
y(3) =
Lösungsschlüssel
- 1. r = −2
- 2. t = 7,94 h
- 3. t = 5,649 min
- 4. T = 25,87 °C
- 5. ymax = 2,569
- 6. y(3) = 27,07
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