1.Leicht
Ein radioaktiver Tracer hat eine Halbwertszeit von 7 Tagen. Eine Probe enthält anfangs 200 mg. Der Zerfall folgt dm/dt = −k·m. Wie viel m ist nach 20 Tagen noch übrig?
m0 = 200 mgt½ = 7 dt = 20 d
m = mg
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Ein radioaktiver Tracer hat eine Halbwertszeit von 26 Tagen. Eine Probe enthält anfangs 120 mg. Der Zerfall folgt dm/dt = −k·m. Wie viel m ist nach 44 Tagen noch übrig?
m0 = 120 mgt½ = 26 dt = 44 d
m = mg
3.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 88 °C steht in einem Raum mit 18 °C. Nach 15 min beträgt die Temperatur 42 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 88 °CTa = 18 °CT(15) = 42 °C
k = min⁻¹
4.Mittel
Löse y″ + 8y′ + 16y = 0 mit y(0) = 1 und y′(0) = 1. Bestimme y(1,5).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 1y′(0) = 1
y(1.5) =
5.Schwer
Ein Behälter enthält 400 L reines Wasser. Salzlösung mit 0,2 kg Salz pro Liter fließt mit 4 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Nach wie vielen Minuten t enthält der Behälter 64 kg Salz?
V = 400 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 4 L/min
t = min
6.Schwer
Löse das Anfangswertproblem y′ + 3y/x = x2 für x > 0 mit y(1) = −1. Bestimme y(3).
y′ + 3y/x = x2y(1) = −1
y(3) =
Lösungsschlüssel
- 1. m = 27,6 mg
- 2. m = 37,13 mg
- 3. k = 0,07136 min⁻¹
- 4. y(1.5) = 0,02107
- 5. t = 160,9 min
- 6. y(3) = 4,457
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