1.Leicht
Ein radioaktiver Tracer hat eine Halbwertszeit von 2 Tagen. Eine Probe enthält anfangs 40 mg. Der Zerfall folgt dm/dt = −k·m. Wie viel m ist nach 1 Tagen noch übrig?
m0 = 40 mgt½ = 2 dt = 1 d
m = mg
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Bestimme für die Gleichung y″ + 6y′ + 8y = 0 die Wurzel r der charakteristischen Gleichung, die am nächsten bei null liegt. Sie bestimmt, wie langsam die Lösung abklingt.
y″ + 6y′ + 8y = 0
r =
3.Mittel
Eine Getränkedose mit 4 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 29 °C gebracht. Nach 21 min beträgt die Temperatur 23 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 26 °C erreicht sind?
T0 = 4 °CTa = 29 °CT(21) = 23 °CT = 26 °C
t = min
4.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 500 °C kühlt in einer Werkstatt mit 28 °C ab. Nach 12 min beträgt die Temperatur 399 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 500 °CTa = 28 °CT(12) = 399 °C
k = min⁻¹
5.Schwer
Löse y″ + 2y′ + 5y = 0 mit y(0) = 5 und y′(0) = 0 (aus der Ruhe losgelassen). Bestimme y(1,5); Winkel im Bogenmaß.
y″ + 2y′ + 5y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1.5) =
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 2y′ + 10y = 100 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 2y′ + 10y = 100y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Lösungsschlüssel
- 1. m = 28,28 mg
- 2. r = −2
- 3. t = 31,2 min
- 4. k = 0,02006 min⁻¹
- 5. y(1.5) = −1,026
- 6. ymax = 13,51
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