1.Leicht
Ein radioaktiver Tracer hat eine Halbwertszeit von 17 Tagen. Eine Probe enthält anfangs 100 mg. Der Zerfall folgt dm/dt = −k·m. Wie viel m ist nach 53 Tagen noch übrig?
m0 = 100 mgt½ = 17 dt = 53 d
m = mg
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Eine Bakterienkultur beginnt mit 1000 Zellen und wächst nach dN/dt = k·N mit k = 0,21 h⁻¹. Nach wie vielen Stunden t sind es 2000 Zellen?
N0 = 1000k = 0,21 h⁻¹N = 2000
t = h
3.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 80 °C steht in einem Raum mit 21 °C. Nach 23 min beträgt die Temperatur 28 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 80 °CTa = 21 °CT(23) = 28 °C
k = min⁻¹
4.Mittel
Löse y″ + 2y′ + y = 0 mit y(0) = 2 und y′(0) = -1. Bestimme y(2).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 2y′(0) = -1
y(2) =
5.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 4y′ + 20y = 200 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme y(0,75); Winkel im Bogenmaß.
y″ + 4y′ + 20y = 200y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 4y′ + 20y = 200 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 4y′ + 20y = 200y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Lösungsschlüssel
- 1. m = 11,52 mg
- 2. t = 3,301 h
- 3. k = 0,09268 min⁻¹
- 4. y(2) = 0,5413
- 5. y(0.75) = 12,05
- 6. ymax = 12,08
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