1.Leicht
Ein radioaktiver Tracer hat eine Halbwertszeit von 19 Tagen. Eine Probe enthält anfangs 50 mg. Der Zerfall folgt dm/dt = −k·m. Wie viel m ist nach 11 Tagen noch übrig?
m0 = 50 mgt½ = 19 dt = 11 d
m = mg
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Eine Größe wächst nach dy/dt = k·y mit k > 0. Sie beträgt 400 bei t = 0 und 1040 bei t = 6 h. Bestimme die Geschwindigkeitskonstante k in h⁻¹.
y(0) = 400y(6) = 1040
k = h⁻¹
3.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 320 °C kühlt in einer Werkstatt mit 21 °C ab. Nach 38 min beträgt die Temperatur 66 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 320 °CTa = 21 °CT(38) = 66 °C
k = min⁻¹
4.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 340 °C kühlt in einer Werkstatt mit 26 °C ab. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,03 min⁻¹ die Temperatur T nach 14 min.
T0 = 340 °CTa = 26 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 14 min
T = °C
5.Schwer
Löse y′ + 2y = 9e−0,5t mit y(0) = 4. Bestimme y(1).
y′ + 2y = 9e−0,5ty(0) = 4
y(1) =
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 4y′ + 20y = 40 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme y(1,5); Winkel im Bogenmaß.
y″ + 4y′ + 20y = 40y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
Lösungsschlüssel
- 1. m = 33,47 mg
- 2. k = 0,1593 h⁻¹
- 3. k = 0,04984 min⁻¹
- 4. T = 232,3 °C
- 5. y(1) = 3,369
- 6. y(1.5) = 1,918
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