1.Leicht
Bestimme für die Gleichung y″ + 4y′ + 3y = 0 die Wurzel r der charakteristischen Gleichung, die am nächsten bei null liegt. Sie bestimmt, wie langsam die Lösung abklingt.
y″ + 4y′ + 3y = 0
r =
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Eine Größe wächst nach dy/dt = k·y mit k > 0. Sie beträgt 50 bei t = 0 und 175 bei t = 6 h. Bestimme die Geschwindigkeitskonstante k in h⁻¹.
y(0) = 50y(6) = 175
k = h⁻¹
3.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 90 °C steht in einem Raum mit 19 °C. Nach 14 min beträgt die Temperatur 32 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 73 °C erreicht sind?
T0 = 90 °CTa = 19 °CT(14) = 32 °CT = 73 °C
t = min
4.Mittel
Löse y″ + 6y′ + 9y = 0 mit y(0) = 5 und y′(0) = 1. Bestimme y(0,5).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = 1
y(0.5) =
5.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 4y′ + 20y = 20 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 4y′ + 20y = 20y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 4y′ + 20y = 200 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 4y′ + 20y = 200y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Lösungsschlüssel
- 1. r = −1
- 2. k = 0,2088 h⁻¹
- 3. t = 2,257 min
- 4. y(0.5) = 2,901
- 5. ymax = 1,208
- 6. ymax = 12,08
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