1.Leicht
Eine Größe wächst nach dy/dt = k·y mit k > 0. Sie beträgt 120 bei t = 0 und 180 bei t = 10 h. Bestimme die Geschwindigkeitskonstante k in h⁻¹.
y(0) = 120y(10) = 180
k = h⁻¹
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Bestimme für die Gleichung y″ + 9y′ + 18y = 0 die Wurzel r der charakteristischen Gleichung, die am nächsten bei null liegt. Sie bestimmt, wie langsam die Lösung abklingt.
y″ + 9y′ + 18y = 0
r =
3.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 82 °C steht in einem Raum mit 21 °C. Nach 30 min beträgt die Temperatur 39 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 30 °C erreicht sind?
T0 = 82 °CTa = 21 °CT(30) = 39 °CT = 30 °C
t = min
4.Mittel
Eine Getränkedose mit 4 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 23 °C gebracht. Nach 16 min beträgt die Temperatur 11 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 18 °C erreicht sind?
T0 = 4 °CTa = 23 °CT(16) = 11 °CT = 18 °C
t = min
5.Schwer
Löse das Anfangswertproblem y′ + 3y/x = 3x für x > 0 mit y(1) = −1. Bestimme y(2).
y′ + 3y/x = 3xy(1) = −1
y(2) =
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 4y′ + 8y = 8 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 4y′ + 8y = 8y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Lösungsschlüssel
- 1. k = 0,04055 h⁻¹
- 2. r = −3
- 3. t = 47,04 min
- 4. t = 46,48 min
- 5. y(2) = 2,2
- 6. ymax = 1,043
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