1.Leicht
Ein Feder-Masse-Dämpfer-System wird durch y″ + 1,6y′ + 16y = 0 beschrieben. Vergleiche es mit y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 und bestimme den Dämpfungsgrad ζ.
y″ + 1,6y′ + 16y = 0
ζ =
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Bestimme für die Gleichung y″ + 10y′ + 24y = 0 die Wurzel r der charakteristischen Gleichung, die am nächsten bei null liegt. Sie bestimmt, wie langsam die Lösung abklingt.
y″ + 10y′ + 24y = 0
r =
3.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 360 °C kühlt in einer Werkstatt mit 30 °C ab. Nach 31 min beträgt die Temperatur 100 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 360 °CTa = 30 °CT(31) = 100 °C
k = min⁻¹
4.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 80 °C steht in einem Raum mit 23 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,07 min⁻¹ die Temperatur T nach 28 min.
T0 = 80 °CTa = 23 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 28 min
T = °C
5.Schwer
Löse das Anfangswertproblem y′ + 2y/x = 3x2 für x > 0 mit y(1) = −2. Bestimme y(3).
y′ + 2y/x = 3x2y(1) = −2
y(3) =
6.Schwer
Ein Behälter enthält 100 L Wasser, in dem 20 kg Salz gelöst sind. Salzlösung mit 0,1 kg Salz pro Liter fließt mit 10 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Nach wie vielen Minuten t enthält der Behälter 16 kg Salz?
V = 100 Lm0 = 20 kgc = 0,1 kg/Lr = 10 L/min
t = min
Lösungsschlüssel
- 1. ζ = 0,2
- 2. r = −4
- 3. k = 0,05002 min⁻¹
- 4. T = 31,03 °C
- 5. y(3) = 15,91
- 6. t = 5,108 min
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