1.Leicht
Eine Größe wächst nach dy/dt = k·y mit k > 0. Sie beträgt 100 bei t = 0 und 340 bei t = 2 h. Bestimme die Geschwindigkeitskonstante k in h⁻¹.
y(0) = 100y(2) = 340
k = h⁻¹
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Eine Bakterienkultur beginnt mit 5000 Zellen und wächst nach dN/dt = k·N mit k = 0,27 h⁻¹. Nach wie vielen Stunden t sind es 25000 Zellen?
N0 = 5000k = 0,27 h⁻¹N = 25000
t = h
3.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 500 °C kühlt in einer Werkstatt mit 22 °C ab. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,02 min⁻¹ die Temperatur T nach 39 min.
T0 = 500 °CTa = 22 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 39 min
T = °C
4.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 93 °C steht in einem Raum mit 20 °C. Nach 28 min beträgt die Temperatur 23 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 93 °CTa = 20 °CT(28) = 23 °C
k = min⁻¹
5.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 4y′ + 13y = 13 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme y(0,5); Winkel im Bogenmaß.
y″ + 4y′ + 13y = 13y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 2y′ + 10y = 20 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 2y′ + 10y = 20y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Lösungsschlüssel
- 1. k = 0,6119 h⁻¹
- 2. t = 5,961 h
- 3. T = 241,1 °C
- 4. k = 0,114 min⁻¹
- 5. y(0.5) = 0,7293
- 6. ymax = 2,702
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