1.Leicht
Ein Feder-Masse-Dämpfer-System wird durch y″ + 2,4y′ + 9y = 0 beschrieben. Vergleiche es mit y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 und bestimme den Dämpfungsgrad ζ.
y″ + 2,4y′ + 9y = 0
ζ =
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Bestimme für die Gleichung y″ + 4y′ + 3y = 0 die Wurzel r der charakteristischen Gleichung, die am nächsten bei null liegt. Sie bestimmt, wie langsam die Lösung abklingt.
y″ + 4y′ + 3y = 0
r =
3.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 90 °C steht in einem Raum mit 22 °C. Nach 18 min beträgt die Temperatur 62 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 90 °CTa = 22 °CT(18) = 62 °C
k = min⁻¹
4.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 91 °C steht in einem Raum mit 20 °C. Nach 9 min beträgt die Temperatur 65 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 91 °CTa = 20 °CT(9) = 65 °C
k = min⁻¹
5.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 3y′ + 6,25y = 12,5 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 3y′ + 6,25y = 12,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Schwer
Ein Behälter enthält 200 L Wasser, in dem 10 kg Salz gelöst sind. Salzlösung mit 0,25 kg Salz pro Liter fließt mit 2 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Wie viel Salz m ist nach 30 min im Behälter?
V = 200 Lm0 = 10 kgc = 0,25 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
Lösungsschlüssel
- 1. ζ = 0,4
- 2. r = −1
- 3. k = 0,02948 min⁻¹
- 4. k = 0,05067 min⁻¹
- 5. ymax = 2,19
- 6. m = 20,37 kg
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