1.Leicht
Bestimme für die Gleichung y″ + 4y′ + 3y = 0 die Wurzel r der charakteristischen Gleichung, die am nächsten bei null liegt. Sie bestimmt, wie langsam die Lösung abklingt.
y″ + 4y′ + 3y = 0
r =
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Ein Feder-Masse-Dämpfer-System wird durch y″ + 3,6y′ + 9y = 0 beschrieben. Vergleiche es mit y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 und bestimme den Dämpfungsgrad ζ.
y″ + 3,6y′ + 9y = 0
ζ =
3.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 89 °C steht in einem Raum mit 21 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,08 min⁻¹ die Temperatur T nach 12 min.
T0 = 89 °CTa = 21 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 12 min
T = °C
4.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 420 °C kühlt in einer Werkstatt mit 29 °C ab. Nach 43 min beträgt die Temperatur 75 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 282 °C erreicht sind?
T0 = 420 °CTa = 29 °CT(43) = 75 °CT = 282 °C
t = min
5.Schwer
Löse y″ + 2y′ + 26y = 0 mit y(0) = 5 und y′(0) = 0 (aus der Ruhe losgelassen). Bestimme y(0,25); Winkel im Bogenmaß.
y″ + 2y′ + 26y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(0.25) =
6.Schwer
Ein Behälter enthält 1000 L Wasser, in dem 10 kg Salz gelöst sind. Salzlösung mit 0,1 kg Salz pro Liter fließt mit 5 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Nach wie vielen Minuten t enthält der Behälter 82 kg Salz?
V = 1000 Lm0 = 10 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min
t = min
Lösungsschlüssel
- 1. r = −1
- 2. ζ = 0,6
- 3. T = 47,04 °C
- 4. t = 8,747 min
- 5. y(0.25) = 1,967
- 6. t = 321,9 min
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