Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen

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1.Leicht

Ein radioaktiver Tracer hat eine Halbwertszeit von 27 Tagen. Eine Probe enthält anfangs 50 mg. Der Zerfall folgt dm/dt = −k·m. Wie viel m ist nach 100 Tagen noch übrig?

m₀ = 50 mgt_½ = 27 dt = 100 d

m = mg

2.Leicht

Bestimme für die Gleichung y″ + 5y′ + 6y = 0 die Wurzel r der charakteristischen Gleichung, die am nächsten bei null liegt. Sie bestimmt, wie langsam die Lösung abklingt.

y″ + 5y′ + 6y = 0

r =

3.Mittel

Eine Getränkedose mit 3 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 28 °C gebracht. Nach 14 min beträgt die Temperatur 19 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.

T₀ = 3 °CT_a = 28 °CT(14) = 19 °C

k = min⁻¹

4.Mittel

Löse y″ + 4y′ + 4y = 0 mit y(0) = 1 und y′(0) = 1. Bestimme y(2).

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 1

y(2) =

5.Schwer

Löse y″ + 3y′ + 18,25y = 0 mit y(0) = 5 und y′(0) = 0 (aus der Ruhe losgelassen). Bestimme y(1,5); Winkel im Bogenmaß.

y″ + 3y′ + 18,25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(1.5) =

6.Schwer

Löse y″ + 2y′ + 5y = 0 mit y(0) = 10 und y′(0) = 0 (aus der Ruhe losgelassen). Bestimme y(1,5); Winkel im Bogenmaß.

y″ + 2y′ + 5y = 0y(0) = 10y′(0) = 0

y(1.5) =

Lösungsschlüssel

1. m = 3,837 mg
2. r = −2
3. k = 0,07298 min⁻¹
4. y(2) = 0,1282
5. y(1.5) = 0,4508
6. y(1.5) = −2,052

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