1.Leicht
Ein radioaktiver Tracer hat eine Halbwertszeit von 26 Tagen. Eine Probe enthält anfangs 100 mg. Der Zerfall folgt dm/dt = −k·m. Wie viel m ist nach 39 Tagen noch übrig?
m0 = 100 mgt½ = 26 dt = 39 d
m = mg
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Eine Größe nimmt nach dy/dt = −k·y mit k > 0 ab. Sie beträgt 120 bei t = 0 und 48 bei t = 5 h. Bestimme die Geschwindigkeitskonstante k in h⁻¹.
y(0) = 120y(5) = 48
k = h⁻¹
3.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 400 °C kühlt in einer Werkstatt mit 24 °C ab. Nach 35 min beträgt die Temperatur 89 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 276 °C erreicht sind?
T0 = 400 °CTa = 24 °CT(35) = 89 °CT = 276 °C
t = min
4.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 300 °C kühlt in einer Werkstatt mit 23 °C ab. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,02 min⁻¹ die Temperatur T nach 56 min.
T0 = 300 °CTa = 23 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 56 min
T = °C
5.Schwer
Ein Behälter enthält 200 L reines Wasser. Salzlösung mit 0,25 kg Salz pro Liter fließt mit 20 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Wie viel Salz m ist nach 15 min im Behälter?
V = 200 Lm0 = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 2y′ + 26y = 260 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 2y′ + 26y = 260y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Lösungsschlüssel
- 1. m = 35,36 mg
- 2. k = 0,1833 h⁻¹
- 3. t = 7,979 min
- 4. T = 113,4 °C
- 5. m = 38,84 kg
- 6. ymax = 15,33
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