1.Leicht
Ein radioaktiver Tracer hat eine Halbwertszeit von 5 Tagen. Eine Probe enthält anfangs 100 mg. Der Zerfall folgt dm/dt = −k·m. Wie viel m ist nach 17 Tagen noch übrig?
m0 = 100 mgt½ = 5 dt = 17 d
m = mg
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Eine Bakterienkultur beginnt mit 200 Zellen und wächst nach dN/dt = k·N mit k = 0,02 h⁻¹. Wie viele Zellen N sind es nach 22 h?
N0 = 200k = 0,02 h⁻¹t = 22 h
N =
3.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 420 °C kühlt in einer Werkstatt mit 29 °C ab. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,04 min⁻¹ die Temperatur T nach 37 min.
T0 = 420 °CTa = 29 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 37 min
T = °C
4.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 360 °C kühlt in einer Werkstatt mit 27 °C ab. Nach 27 min beträgt die Temperatur 175 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 360 °CTa = 27 °CT(27) = 175 °C
k = min⁻¹
5.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 2y′ + 26y = 26 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 2y′ + 26y = 26y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Schwer
Löse y″ + y′ + 25,25y = 0 mit y(0) = 5 und y′(0) = 0 (aus der Ruhe losgelassen). Bestimme y(0,5); Winkel im Bogenmaß.
y″ + y′ + 25,25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(0.5) =
Lösungsschlüssel
- 1. m = 9,473 mg
- 2. N = 310,5
- 3. T = 118 °C
- 4. k = 0,03003 min⁻¹
- 5. ymax = 1,533
- 6. y(0.5) = −2,887
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