1.Leicht
Ein radioaktiver Tracer hat eine Halbwertszeit von 14 Tagen. Eine Probe enthält anfangs 20 mg. Der Zerfall folgt dm/dt = −k·m. Wie viel m ist nach 6 Tagen noch übrig?
m0 = 20 mgt½ = 14 dt = 6 d
m = mg
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Eine Größe wächst nach dy/dt = k·y mit k > 0. Sie beträgt 50 bei t = 0 und 145 bei t = 10 h. Bestimme die Geschwindigkeitskonstante k in h⁻¹.
y(0) = 50y(10) = 145
k = h⁻¹
3.Mittel
Löse y″ + 6y′ + 9y = 0 mit y(0) = 2 und y′(0) = 2. Bestimme y(1,5).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 2y′(0) = 2
y(1.5) =
4.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 88 °C steht in einem Raum mit 24 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,09 min⁻¹ die Temperatur T nach 25 min.
T0 = 88 °CTa = 24 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 25 min
T = °C
5.Schwer
Löse y′ + y = 10e−3t mit y(0) = 5. Bestimme y(0,5).
y′ + y = 10e−3ty(0) = 5
y(0.5) =
6.Schwer
Ein Behälter enthält 200 L Wasser, in dem 5 kg Salz gelöst sind. Salzlösung mit 0,25 kg Salz pro Liter fließt mit 5 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Wie viel Salz m ist nach 35 min im Behälter?
V = 200 Lm0 = 5 kgc = 0,25 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
Lösungsschlüssel
- 1. m = 14,86 mg
- 2. k = 0,1065 h⁻¹
- 3. y(1.5) = 0,1555
- 4. T = 30,75 °C
- 5. y(0.5) = 4,95
- 6. m = 31,24 kg
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