Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen

Kostenloses Arbeitsblatt Differentialgleichungen zum Ausdrucken: 6 Aufgaben von leicht bis Prüfungsniveau, mit Lösungsschlüssel. Drucke es aus oder speichere es als PDF.

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1.Leicht

Ein Feder-Masse-Dämpfer-System wird durch y″ + 4y′ + 64y = 0 beschrieben. Vergleiche es mit y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 und bestimme den Dämpfungsgrad ζ.

y″ + 4y′ + 64y = 0

ζ =

2.Leicht

Bestimme für die Gleichung y″ + 4y′ + 3y = 0 die Wurzel r der charakteristischen Gleichung, die am nächsten bei null liegt. Sie bestimmt, wie langsam die Lösung abklingt.

y″ + 4y′ + 3y = 0

r =

3.Mittel

Eine Tasse Kaffee mit 88 °C steht in einem Raum mit 23 °C. Nach 10 min beträgt die Temperatur 62 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.

T₀ = 88 °CT_a = 23 °CT(10) = 62 °C

k = min⁻¹

4.Mittel

Eine Getränkedose mit 5 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 29 °C gebracht. Nach 11 min beträgt die Temperatur 17 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 12 °C erreicht sind?

T₀ = 5 °CT_a = 29 °CT(11) = 17 °CT = 12 °C

t = min

5.Schwer

Löse y′ + 2y = 4e^−0,5t mit y(0) = 2. Bestimme y(1).

y′ + 2y = 4e^−0,5ty(0) = 2

y(1) =

6.Schwer

Ein System gehorcht y″ + 4y′ + 20y = 20 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert y_max seiner Sprungantwort.

y″ + 4y′ + 20y = 20y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

Lösungsschlüssel

1. ζ = 0,25
2. r = −1
3. k = 0,05108 min⁻¹
4. t = 5,472 min
5. y(1) = 1,527
6. y_max = 1,208

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