1.Leicht
Ein radioaktiver Tracer hat eine Halbwertszeit von 20 Tagen. Eine Probe enthält anfangs 80 mg. Der Zerfall folgt dm/dt = −k·m. Wie viel m ist nach 72 Tagen noch übrig?
m0 = 80 mgt½ = 20 dt = 72 d
m = mg
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Eine Bakterienkultur beginnt mit 2000 Zellen und wächst nach dN/dt = k·N mit k = 0,29 h⁻¹. Nach wie vielen Stunden t sind es 10000 Zellen?
N0 = 2000k = 0,29 h⁻¹N = 10000
t = h
3.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 340 °C kühlt in einer Werkstatt mit 24 °C ab. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,03 min⁻¹ die Temperatur T nach 29 min.
T0 = 340 °CTa = 24 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 29 min
T = °C
4.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 500 °C kühlt in einer Werkstatt mit 29 °C ab. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,05 min⁻¹ die Temperatur T nach 51 min.
T0 = 500 °CTa = 29 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 51 min
T = °C
5.Schwer
Löse y′ + y = 3e−3t mit y(0) = 5. Bestimme y(2).
y′ + y = 3e−3ty(0) = 5
y(2) =
6.Schwer
Ein Behälter enthält 500 L Wasser, in dem 10 kg Salz gelöst sind. Salzlösung mit 0,2 kg Salz pro Liter fließt mit 20 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Nach wie vielen Minuten t enthält der Behälter 73 kg Salz?
V = 500 Lm0 = 10 kgc = 0,2 kg/Lr = 20 L/min
t = min
Lösungsschlüssel
- 1. m = 6,598 mg
- 2. t = 5,55 h
- 3. T = 156,4 °C
- 4. T = 65,78 °C
- 5. y(2) = 0,876
- 6. t = 30,1 min
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