1.Leicht
Eine Größe wächst nach dy/dt = k·y mit k > 0. Sie beträgt 400 bei t = 0 und 1320 bei t = 5 h. Bestimme die Geschwindigkeitskonstante k in h⁻¹.
y(0) = 400y(5) = 1320
k = h⁻¹
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Ein Feder-Masse-Dämpfer-System wird durch y″ + 6y′ + 25y = 0 beschrieben. Vergleiche es mit y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 und bestimme den Dämpfungsgrad ζ.
y″ + 6y′ + 25y = 0
ζ =
3.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 400 °C kühlt in einer Werkstatt mit 22 °C ab. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,03 min⁻¹ die Temperatur T nach 40 min.
T0 = 400 °CTa = 22 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 40 min
T = °C
4.Mittel
Eine Getränkedose mit 4 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 28 °C gebracht. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,07 min⁻¹ die Temperatur T nach 16 min.
T0 = 4 °CTa = 28 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 16 min
T = °C
5.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 2y′ + 26y = 52 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme y(0,75); Winkel im Bogenmaß.
y″ + 2y′ + 26y = 52y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 2y′ + 10y = 20 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme y(0,75); Winkel im Bogenmaß.
y″ + 2y′ + 10y = 20y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
Lösungsschlüssel
- 1. k = 0,2388 h⁻¹
- 2. ζ = 0,6
- 3. T = 135,9 °C
- 4. T = 20,17 °C
- 5. y(0.75) = 2,883
- 6. y(0.75) = 2,348
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