1.Leicht
Eine Größe nimmt nach dy/dt = −k·y mit k > 0 ab. Sie beträgt 250 bei t = 0 und 188 bei t = 11 h. Bestimme die Geschwindigkeitskonstante k in h⁻¹.
y(0) = 250y(11) = 188
k = h⁻¹
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Bestimme für die Gleichung y″ + 4y′ + 3y = 0 die Wurzel r der charakteristischen Gleichung, die am nächsten bei null liegt. Sie bestimmt, wie langsam die Lösung abklingt.
y″ + 4y′ + 3y = 0
r =
3.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 92 °C steht in einem Raum mit 19 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,05 min⁻¹ die Temperatur T nach 27 min.
T0 = 92 °CTa = 19 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 27 min
T = °C
4.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 83 °C steht in einem Raum mit 22 °C. Nach 10 min beträgt die Temperatur 42 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 29 °C erreicht sind?
T0 = 83 °CTa = 22 °CT(10) = 42 °CT = 29 °C
t = min
5.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 3y′ + 18,25y = 18,25 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 3y′ + 18,25y = 18,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Schwer
Ein Behälter enthält 100 L reines Wasser. Salzlösung mit 0,2 kg Salz pro Liter fließt mit 4 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Wie viel Salz m ist nach 30 min im Behälter?
V = 100 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
Lösungsschlüssel
- 1. k = 0,02591 h⁻¹
- 2. r = −1
- 3. T = 37,92 °C
- 4. t = 19,41 min
- 5. ymax = 1,308
- 6. m = 13,98 kg
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