1.Leicht
Ein Feder-Masse-Dämpfer-System wird durch y″ + 1,2y′ + 4y = 0 beschrieben. Vergleiche es mit y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 und bestimme den Dämpfungsgrad ζ.
y″ + 1,2y′ + 4y = 0
ζ =
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Eine Bakterienkultur beginnt mit 1500 Zellen und wächst nach dN/dt = k·N mit k = 0,06 h⁻¹. Nach wie vielen Stunden t sind es 7500 Zellen?
N0 = 1500k = 0,06 h⁻¹N = 7500
t = h
3.Mittel
Eine Getränkedose mit 3 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 24 °C gebracht. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,07 min⁻¹ die Temperatur T nach 6 min.
T0 = 3 °CTa = 24 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 6 min
T = °C
4.Mittel
Eine Getränkedose mit 3 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 22 °C gebracht. Nach 16 min beträgt die Temperatur 16 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 3 °CTa = 22 °CT(16) = 16 °C
k = min⁻¹
5.Schwer
Ein Behälter enthält 400 L Wasser, in dem 10 kg Salz gelöst sind. Salzlösung mit 0,2 kg Salz pro Liter fließt mit 2 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Wie viel Salz m ist nach 100 min im Behälter?
V = 400 Lm0 = 10 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 4y′ + 13y = 13 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme y(1); Winkel im Bogenmaß.
y″ + 4y′ + 13y = 13y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
Lösungsschlüssel
- 1. ζ = 0,3
- 2. t = 26,82 h
- 3. T = 10,2 °C
- 4. k = 0,07204 min⁻¹
- 5. m = 37,54 kg
- 6. y(1) = 1,121
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