1.Leicht
Eine Bakterienkultur beginnt mit 1500 Zellen und wächst nach dN/dt = k·N mit k = 0,24 h⁻¹. Wie viele Zellen N sind es nach 16 h?
N0 = 1500k = 0,24 h⁻¹t = 16 h
N =
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Ein radioaktiver Tracer hat eine Halbwertszeit von 22 Tagen. Eine Probe enthält anfangs 10 mg. Der Zerfall folgt dm/dt = −k·m. Wie viel m ist nach 81 Tagen noch übrig?
m0 = 10 mgt½ = 22 dt = 81 d
m = mg
3.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 440 °C kühlt in einer Werkstatt mit 24 °C ab. Nach 14 min beträgt die Temperatur 297 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 397 °C erreicht sind?
T0 = 440 °CTa = 24 °CT(14) = 297 °CT = 397 °C
t = min
4.Mittel
Eine Getränkedose mit 5 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 25 °C gebracht. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,06 min⁻¹ die Temperatur T nach 29 min.
T0 = 5 °CTa = 25 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 29 min
T = °C
5.Schwer
Ein Behälter enthält 200 L Wasser, in dem 5 kg Salz gelöst sind. Salzlösung mit 0,1 kg Salz pro Liter fließt mit 5 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Nach wie vielen Minuten t enthält der Behälter 13 kg Salz?
V = 200 Lm0 = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min
t = min
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 4y′ + 8y = 8 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme y(0,75); Winkel im Bogenmaß.
y″ + 4y′ + 8y = 8y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
Lösungsschlüssel
- 1. N = 69788
- 2. m = 0,7792 mg
- 3. t = 3,626 min
- 4. T = 21,49 °C
- 5. t = 30,49 min
- 6. y(0.75) = 0,7616
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