1.Leicht
Ein radioaktiver Tracer hat eine Halbwertszeit von 19 Tagen. Eine Probe enthält anfangs 20 mg. Der Zerfall folgt dm/dt = −k·m. Wie viel m ist nach 51 Tagen noch übrig?
m0 = 20 mgt½ = 19 dt = 51 d
m = mg
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Eine Bakterienkultur beginnt mit 5000 Zellen und wächst nach dN/dt = k·N mit k = 0,17 h⁻¹. Nach wie vielen Stunden t sind es 15000 Zellen?
N0 = 5000k = 0,17 h⁻¹N = 15000
t = h
3.Mittel
Löse y″ + 2y′ + y = 0 mit y(0) = 1 und y′(0) = -2. Bestimme y(0,5).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 1y′(0) = -2
y(0.5) =
4.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 94 °C steht in einem Raum mit 23 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,04 min⁻¹ die Temperatur T nach 10 min.
T0 = 94 °CTa = 23 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 10 min
T = °C
5.Schwer
Löse y″ + 2y′ + 5y = 0 mit y(0) = 10 und y′(0) = 0 (aus der Ruhe losgelassen). Bestimme y(0,5); Winkel im Bogenmaß.
y″ + 2y′ + 5y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(0.5) =
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + y′ + 9,25y = 9,25 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + y′ + 9,25y = 9,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Lösungsschlüssel
- 1. m = 3,112 mg
- 2. t = 6,462 h
- 3. y(0.5) = 0,3033
- 4. T = 70,59 °C
- 5. y(0.5) = 5,829
- 6. ymax = 1,592
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