1.Leicht
Eine Bakterienkultur beginnt mit 1500 Zellen und wächst nach dN/dt = k·N mit k = 0,21 h⁻¹. Wie viele Zellen N sind es nach 5 h?
N0 = 1500k = 0,21 h⁻¹t = 5 h
N =
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Ein Feder-Masse-Dämpfer-System wird durch y″ + 5,6y′ + 16y = 0 beschrieben. Vergleiche es mit y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 und bestimme den Dämpfungsgrad ζ.
y″ + 5,6y′ + 16y = 0
ζ =
3.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 92 °C steht in einem Raum mit 22 °C. Nach 25 min beträgt die Temperatur 42 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 92 °CTa = 22 °CT(25) = 42 °C
k = min⁻¹
4.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 440 °C kühlt in einer Werkstatt mit 27 °C ab. Nach 26 min beträgt die Temperatur 345 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 440 °CTa = 27 °CT(26) = 345 °C
k = min⁻¹
5.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 3y′ + 18,25y = 36,5 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 3y′ + 18,25y = 36,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 4y′ + 20y = 200 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme y(1,5); Winkel im Bogenmaß.
y″ + 4y′ + 20y = 200y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
Lösungsschlüssel
- 1. N = 4286
- 2. ζ = 0,7
- 3. k = 0,05011 min⁻¹
- 4. k = 0,01005 min⁻¹
- 5. ymax = 2,616
- 6. y(1.5) = 9,592
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