1.Leicht
Bestimme für die Gleichung y″ + 3y′ + 2y = 0 die Wurzel r der charakteristischen Gleichung, die am nächsten bei null liegt. Sie bestimmt, wie langsam die Lösung abklingt.
y″ + 3y′ + 2y = 0
r =
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Eine Größe nimmt nach dy/dt = −k·y mit k > 0 ab. Sie beträgt 100 bei t = 0 und 35 bei t = 7 h. Bestimme die Geschwindigkeitskonstante k in h⁻¹.
y(0) = 100y(7) = 35
k = h⁻¹
3.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 400 °C kühlt in einer Werkstatt mit 27 °C ab. Nach 38 min beträgt die Temperatur 282 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 400 °CTa = 27 °CT(38) = 282 °C
k = min⁻¹
4.Mittel
Eine Getränkedose mit 6 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 29 °C gebracht. Nach 12 min beträgt die Temperatur 22 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 6 °CTa = 29 °CT(12) = 22 °C
k = min⁻¹
5.Schwer
Ein Behälter enthält 500 L Wasser, in dem 10 kg Salz gelöst sind. Salzlösung mit 0,25 kg Salz pro Liter fließt mit 4 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Nach wie vielen Minuten t enthält der Behälter 45 kg Salz?
V = 500 Lm0 = 10 kgc = 0,25 kg/Lr = 4 L/min
t = min
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 2y′ + 17y = 17 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 2y′ + 17y = 17y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Lösungsschlüssel
- 1. r = −1
- 2. k = 0,15 h⁻¹
- 3. k = 0,01001 min⁻¹
- 4. k = 0,09913 min⁻¹
- 5. t = 45,36 min
- 6. ymax = 1,456
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