1.Leicht
Eine Bakterienkultur beginnt mit 2000 Zellen und wächst nach dN/dt = k·N mit k = 0,05 h⁻¹. Wie viele Zellen N sind es nach 24 h?
N0 = 2000k = 0,05 h⁻¹t = 24 h
N =
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Eine Bakterienkultur beginnt mit 500 Zellen und wächst nach dN/dt = k·N mit k = 0,36 h⁻¹. Nach wie vielen Stunden t sind es 1000 Zellen?
N0 = 500k = 0,36 h⁻¹N = 1000
t = h
3.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 81 °C steht in einem Raum mit 19 °C. Nach 10 min beträgt die Temperatur 57 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 81 °CTa = 19 °CT(10) = 57 °C
k = min⁻¹
4.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 400 °C kühlt in einer Werkstatt mit 21 °C ab. Nach 13 min beträgt die Temperatur 354 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 171 °C erreicht sind?
T0 = 400 °CTa = 21 °CT(13) = 354 °CT = 171 °C
t = min
5.Schwer
Ein Behälter enthält 1000 L reines Wasser. Salzlösung mit 0,05 kg Salz pro Liter fließt mit 5 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Wie viel Salz m ist nach 105 min im Behälter?
V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 3y′ + 18,25y = 182,5 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme y(1,5); Winkel im Bogenmaß.
y″ + 3y′ + 18,25y = 182,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
Lösungsschlüssel
- 1. N = 6640
- 2. t = 1,925 h
- 3. k = 0,04895 min⁻¹
- 4. t = 93,12 min
- 5. m = 20,42 kg
- 6. y(1.5) = 9,098
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