1.Leicht
Eine Größe wächst nach dy/dt = k·y mit k > 0. Sie beträgt 500 bei t = 0 und 1350 bei t = 7 h. Bestimme die Geschwindigkeitskonstante k in h⁻¹.
y(0) = 500y(7) = 1350
k = h⁻¹
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Ein radioaktiver Tracer hat eine Halbwertszeit von 6 Tagen. Eine Probe enthält anfangs 40 mg. Der Zerfall folgt dm/dt = −k·m. Wie viel m ist nach 4 Tagen noch übrig?
m0 = 40 mgt½ = 6 dt = 4 d
m = mg
3.Mittel
Eine Getränkedose mit 4 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 24 °C gebracht. Nach 10 min beträgt die Temperatur 9 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 4 °CTa = 24 °CT(10) = 9 °C
k = min⁻¹
4.Mittel
Eine Getränkedose mit 3 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 24 °C gebracht. Nach 7 min beträgt die Temperatur 8 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 3 °CTa = 24 °CT(7) = 8 °C
k = min⁻¹
5.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 4y′ + 8y = 40 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 4y′ + 8y = 40y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + y′ + 25,25y = 50,5 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + y′ + 25,25y = 50,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Lösungsschlüssel
- 1. k = 0,1419 h⁻¹
- 2. m = 25,2 mg
- 3. k = 0,02877 min⁻¹
- 4. k = 0,03885 min⁻¹
- 5. ymax = 5,216
- 6. ymax = 3,461
Vollständige Schritt-für-Schritt-Lösungen: Übe dieses Thema auf examproblems.com.