1.Leicht
Bestimme für die Gleichung y″ + 6y′ + 5y = 0 die Wurzel r der charakteristischen Gleichung, die am nächsten bei null liegt. Sie bestimmt, wie langsam die Lösung abklingt.
y″ + 6y′ + 5y = 0
r =
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Bestimme für die Gleichung y″ + 7y′ + 12y = 0 die Wurzel r der charakteristischen Gleichung, die am nächsten bei null liegt. Sie bestimmt, wie langsam die Lösung abklingt.
y″ + 7y′ + 12y = 0
r =
3.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 86 °C steht in einem Raum mit 22 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,09 min⁻¹ die Temperatur T nach 6 min.
T0 = 86 °CTa = 22 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 6 min
T = °C
4.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 81 °C steht in einem Raum mit 19 °C. Nach 10 min beträgt die Temperatur 57 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 81 °CTa = 19 °CT(10) = 57 °C
k = min⁻¹
5.Schwer
Ein Behälter enthält 1000 L reines Wasser. Salzlösung mit 0,2 kg Salz pro Liter fließt mit 2 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Wie viel Salz m ist nach 70 min im Behälter?
V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 3y′ + 18,25y = 18,25 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 3y′ + 18,25y = 18,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Lösungsschlüssel
- 1. r = −1
- 2. r = −3
- 3. T = 59,3 °C
- 4. k = 0,04895 min⁻¹
- 5. m = 26,13 kg
- 6. ymax = 1,308
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