1.Leicht
Ein radioaktiver Tracer hat eine Halbwertszeit von 18 Tagen. Eine Probe enthält anfangs 20 mg. Der Zerfall folgt dm/dt = −k·m. Wie viel m ist nach 38 Tagen noch übrig?
m0 = 20 mgt½ = 18 dt = 38 d
m = mg
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Eine Bakterienkultur beginnt mit 200 Zellen und wächst nach dN/dt = k·N mit k = 0,37 h⁻¹. Nach wie vielen Stunden t sind es 2000 Zellen?
N0 = 200k = 0,37 h⁻¹N = 2000
t = h
3.Mittel
Löse y″ + 5y′ + 6y = 0 mit y(0) = 1 und y′(0) = -2. Bestimme y(1).
y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 1y′(0) = -2
y(1) =
4.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 360 °C kühlt in einer Werkstatt mit 29 °C ab. Nach 10 min beträgt die Temperatur 230 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 269 °C erreicht sind?
T0 = 360 °CTa = 29 °CT(10) = 230 °CT = 269 °C
t = min
5.Schwer
Löse y′ + 2y = 8e−3t mit y(0) = 2. Bestimme y(0,5).
y′ + 2y = 8e−3ty(0) = 2
y(0.5) =
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 2y′ + 26y = 260 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 2y′ + 26y = 260y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Lösungsschlüssel
- 1. m = 4,629 mg
- 2. t = 6,223 h
- 3. y(1) = 0,1353
- 4. t = 6,445 min
- 5. y(0.5) = 1,894
- 6. ymax = 15,33
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