1.Leicht
Bestimme für die Gleichung y″ + 4y′ + 3y = 0 die Wurzel r der charakteristischen Gleichung, die am nächsten bei null liegt. Sie bestimmt, wie langsam die Lösung abklingt.
y″ + 4y′ + 3y = 0
r =
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Eine Bakterienkultur beginnt mit 1000 Zellen und wächst nach dN/dt = k·N mit k = 0,03 h⁻¹. Nach wie vielen Stunden t sind es 2000 Zellen?
N0 = 1000k = 0,03 h⁻¹N = 2000
t = h
3.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 87 °C steht in einem Raum mit 20 °C. Nach 13 min beträgt die Temperatur 34 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 87 °CTa = 20 °CT(13) = 34 °C
k = min⁻¹
4.Mittel
Eine Getränkedose mit 5 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 25 °C gebracht. Nach 24 min beträgt die Temperatur 21 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 11 °C erreicht sind?
T0 = 5 °CTa = 25 °CT(24) = 21 °CT = 11 °C
t = min
5.Schwer
Ein Behälter enthält 100 L reines Wasser. Salzlösung mit 0,1 kg Salz pro Liter fließt mit 20 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Wie viel Salz m ist nach 5 min im Behälter?
V = 100 Lm0 = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
6.Schwer
Löse y′ + y = 9e−2t mit y(0) = 1. Bestimme y(0,5).
y′ + y = 9e−2ty(0) = 1
y(0.5) =
Lösungsschlüssel
- 1. r = −1
- 2. t = 23,1 h
- 3. k = 0,1204 min⁻¹
- 4. t = 5,319 min
- 5. m = 6,321 kg
- 6. y(0.5) = 2,754
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