1.Leicht
Ein Feder-Masse-Dämpfer-System wird durch y″ + 6,4y′ + 16y = 0 beschrieben. Vergleiche es mit y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 und bestimme den Dämpfungsgrad ζ.
y″ + 6,4y′ + 16y = 0
ζ =
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Ein radioaktiver Tracer hat eine Halbwertszeit von 5 Tagen. Eine Probe enthält anfangs 10 mg. Der Zerfall folgt dm/dt = −k·m. Wie viel m ist nach 2 Tagen noch übrig?
m0 = 10 mgt½ = 5 dt = 2 d
m = mg
3.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 94 °C steht in einem Raum mit 18 °C. Nach 10 min beträgt die Temperatur 64 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 94 °CTa = 18 °CT(10) = 64 °C
k = min⁻¹
4.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 300 °C kühlt in einer Werkstatt mit 23 °C ab. Nach 46 min beträgt die Temperatur 67 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 300 °CTa = 23 °CT(46) = 67 °C
k = min⁻¹
5.Schwer
Löse das Anfangswertproblem y′ + 2y/x = 4x2 für x > 0 mit y(1) = −3. Bestimme y(3).
y′ + 2y/x = 4x2y(1) = −3
y(3) =
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 3y′ + 27,25y = 27,25 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 3y′ + 27,25y = 27,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Lösungsschlüssel
- 1. ζ = 0,8
- 2. m = 7,579 mg
- 3. k = 0,05021 min⁻¹
- 4. k = 0,04 min⁻¹
- 5. y(3) = 21,18
- 6. ymax = 1,39
Vollständige Schritt-für-Schritt-Lösungen: Übe dieses Thema auf examproblems.com.