1.Leicht
Eine Größe nimmt nach dy/dt = −k·y mit k > 0 ab. Sie beträgt 80 bei t = 0 und 36 bei t = 9 h. Bestimme die Geschwindigkeitskonstante k in h⁻¹.
y(0) = 80y(9) = 36
k = h⁻¹
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Bestimme für die Gleichung y″ + 10y′ + 24y = 0 die Wurzel r der charakteristischen Gleichung, die am nächsten bei null liegt. Sie bestimmt, wie langsam die Lösung abklingt.
y″ + 10y′ + 24y = 0
r =
3.Mittel
Eine Tasse Kaffee mit 92 °C steht in einem Raum mit 18 °C. Nach 26 min beträgt die Temperatur 25 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 59 °C erreicht sind?
T0 = 92 °CTa = 18 °CT(26) = 25 °CT = 59 °C
t = min
4.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 480 °C kühlt in einer Werkstatt mit 21 °C ab. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,04 min⁻¹ die Temperatur T nach 44 min.
T0 = 480 °CTa = 21 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 44 min
T = °C
5.Schwer
Löse das Anfangswertproblem y′ + y/x = 6x2 für x > 0 mit y(1) = 0. Bestimme y(3).
y′ + y/x = 6x2y(1) = 0
y(3) =
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + 3y′ + 18,25y = 91,25 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 3y′ + 18,25y = 91,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Lösungsschlüssel
- 1. k = 0,08872 h⁻¹
- 2. r = −4
- 3. t = 6,511 min
- 4. T = 99,97 °C
- 5. y(3) = 40
- 6. ymax = 6,539
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