1.Leicht
Eine Größe nimmt nach dy/dt = −k·y mit k > 0 ab. Sie beträgt 400 bei t = 0 und 100 bei t = 9 h. Bestimme die Geschwindigkeitskonstante k in h⁻¹.
y(0) = 400y(9) = 100
k = h⁻¹
Arbeitsblatt Differentialgleichungen mit Lösungen
2.Leicht
Eine Bakterienkultur beginnt mit 200 Zellen und wächst nach dN/dt = k·N mit k = 0,36 h⁻¹. Wie viele Zellen N sind es nach 5 h?
N0 = 200k = 0,36 h⁻¹t = 5 h
N =
3.Mittel
Löse y″ + 2y′ + y = 0 mit y(0) = 5 und y′(0) = -1. Bestimme y(1).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = -1
y(1) =
4.Mittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 480 °C kühlt in einer Werkstatt mit 28 °C ab. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,01 min⁻¹ die Temperatur T nach 15 min.
T0 = 480 °CTa = 28 °Ck = 0,01 min⁻¹t = 15 min
T = °C
5.Schwer
Ein Behälter enthält 200 L reines Wasser. Salzlösung mit 0,2 kg Salz pro Liter fließt mit 5 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Nach wie vielen Minuten t enthält der Behälter 28 kg Salz?
V = 200 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 5 L/min
t = min
6.Schwer
Ein System gehorcht y″ + y′ + 16,25y = 16,25 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + y′ + 16,25y = 16,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Lösungsschlüssel
- 1. k = 0,154 h⁻¹
- 2. N = 1210
- 3. y(1) = 3,311
- 4. T = 417 °C
- 5. t = 48,16 min
- 6. ymax = 1,675
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