Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht

Berechne I = ∫₀¹ ∫₁³ (6xy² + 2) dy dx über das Rechteck 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 3.

f = 6xy² + 20 ≤ x ≤ 11 ≤ y ≤ 3

I =

2.Leicht

Bestimme für f(x, y) = −x³y + 2x³ + y³ − xy die partielle Ableitung ∂f/∂x im Punkt (1, −3).

f(x, y) = −x³y + 2x³ + y³ − xyP = (1, −3)

f_x(1, −3) =

3.Mittel

z = xe^2y mit x = t − 2 und y = t² − 1. Bestimme mit der Kettenregel dz/dt bei t = −1.

z = xe^2yx = t − 2y = t² − 1t = −1

dz/dt =

4.Mittel

Bestimme für f(x, y) = 3x²e^3y die Richtungsableitung D_uf in P(1, 1) in Richtung auf Q(4, 5).

f(x, y) = 3x²e^3yP = (1, 1)Q = (4, 5)

D_uf =

5.Schwer

Berechne I = ∬_R (x² + y²) dA mit Polarkoordinaten, wobei R der Kreisring 0,25 ≤ x² + y² ≤ 1 ist.

f = x² + y²0,5 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π

I =

6.Schwer

Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = x³ − 3x + y² − 6y, klassifiziere sie und gib den Wert f_min von f an ihrem lokalen Minimum an.

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 6y

f_min =

Lösungsschlüssel

1. I = 30
2. f_x(1, −3) = 18
3. dz/dt = 13
4. D_uf = 216,9
5. I = 1,473
6. f_min = −11

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