Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht

Bestimme für f(x, y) = 2x³e3y die gemischte zweite partielle Ableitung ∂²f/∂x∂y bei (−1, −1).

f(x, y) = 2x³e3yP = (−1, −1)
fxy(−1, −1) =
2.Leicht
xyx = 1x = 4y = 3y = 11431

Berechne I = ∫14 ∫13 (6x²y − 4) dy dx über das Rechteck 1 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 3.

f = 6x²y − 41 ≤ x ≤ 41 ≤ y ≤ 3
I =
3.Mittel
xy−22∇fP

Bestimme für f(x, y) = −4x²y³ − 4x³ + 3y³ + xy die maximale Änderungsrate von f im Punkt (−2, 2), also |∇f|.

f(x, y) = −4x²y³ − 4x³ + 3y³ + xyP = (−2, 2)
|∇f| =
4.Mittel
xy0,5−1∇fP

Bestimme für f(x, y) = 3x²ey die Richtung des steilsten Anstiegs bei (0,5, −1) als Winkel θ zur positiven x-Achse, in Grad zwischen −180° und 180°.

f(x, y) = 3x²eyP = (0,5, −1)
θ = °
5.Schwer
xyx = 4y = 3x412

Berechne I = ∬T (3x + 3y) dA über das Dreieck T, das von y = 0, x = 4 und y = 3x begrenzt wird.

f = 3x + 3y0 ≤ x ≤ 40 ≤ y ≤ 3x
I =
6.Schwer
xy31

Berechne I = ∬R (x² + y²) dA mit Polarkoordinaten, wobei R der Kreisring 1 ≤ x² + y² ≤ 9 ist.

f = x² + y²1 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =

Lösungsschlüssel

  1. 1. fxy(−1, −1) = 0,8962
  2. 2. I = 480
  3. 3. |∇f| = 178
  4. 4. θ = 14,04 °
  5. 5. I = 480
  6. 6. I = 125,7

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