Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht
xy3−2P

Bestimme für f(x, y) = −4xy − 4x² − 3y³ die partielle Ableitung ∂f/∂x im Punkt (3, −2).

f(x, y) = −4xy − 4x² − 3y³P = (3, −2)
fx(3, −2) =
2.Leicht
xyx = 1x = 2y = 2122

Berechne I = ∫12 ∫02 (3x·e0,5y) dy dx über das Rechteck 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2.

f = 3x·e0,5y1 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ 2
I =
3.Mittel
xy13∇fP

Bestimme für f(x, y) = −2x²y² − 4x³ + 2y³ + 3xy die maximale Änderungsrate von f im Punkt (1, 3), also |∇f|.

f(x, y) = −2x²y² − 4x³ + 2y³ + 3xyP = (1, 3)
|∇f| =
4.Mittel
xy0,50,5∇fP

Bestimme für f(x, y) = 2x³e2y die Richtung des steilsten Anstiegs bei (0,5, 0,5) als Winkel θ zur positiven x-Achse, in Grad zwischen −180° und 180°.

f(x, y) = 2x³e2yP = (0,5, 0,5)
θ = °
5.Schwer
xyx = 1y = 0,5x10,5

Berechne I = ∬T (2x − 2y) dA über das Dreieck T, das von y = 0, x = 1 und y = 0,5x begrenzt wird.

f = 2x − 2y0 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ 0,5x
I =
6.Schwer
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy, klassifiziere sie und gib den Wert fmin von f an ihrem lokalen Minimum an.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
fmin =

Lösungsschlüssel

  1. 1. fx(3, −2) = −16
  2. 2. I = 15,46
  3. 3. |∇f| = 59,55
  4. 4. θ = 18,43 °
  5. 5. I = 0,25
  6. 6. fmin = −2

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