Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht
xy1−1P

Bestimme für f(x, y) = −2x³ey die partielle Ableitung ∂f/∂y im Punkt (1, −1).

f(x, y) = −2x³eyP = (1, −1)
fy(1, −1) =
2.Leicht

Bestimme für f(x, y) = −xy + x² − 4y³ die gemischte zweite partielle Ableitung ∂²f/∂x∂y bei (−2, 2).

f(x, y) = −xy + x² − 4y³P = (−2, 2)
fxy(−2, 2) =
3.Mittel
xy−4−202−4−20PQ

Bestimme für f(x, y) = −3xy − 4x² die Richtungsableitung Duf in P(−1, −2) in Richtung auf Q(−4, −4).

f(x, y) = −3xy − 4x²P = (−1, −2)Q = (−4, −4)
Duf =
4.Mittel
xy1−1P

Die Tangentialebene an z = 5 sin(−x + 2y) im Punkt (x, y) = (1, −1) lässt sich als z = px + qy + c schreiben. Bestimme c.

f(x, y) = 5 sin(−x + 2y)(a, b) = (1, −1)
c =
5.Schwer
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy hat einen kritischen Punkt bei (1, 1). Berechne dort die Diskriminante D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xyP = (1, 1)
D =
6.Schwer
xy−505−2024(3, 1)(−3, 1)

Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = x³ − 27x + y² − 2y, klassifiziere sie und gib den Wert fmin von f an ihrem lokalen Minimum an.

f(x, y) = x³ − 27x + y² − 2y
fmin =

Lösungsschlüssel

  1. 1. fy(1, −1) = −0,7358
  2. 2. fxy(−2, 2) = −1
  3. 3. Duf = −13,31
  4. 4. c = −15,56
  5. 5. D = 128
  6. 6. fmin = −55

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