Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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Name: ____________________   Datum: ____________

1.Leicht
xy2−2P

Bestimme für f(x, y) = 2x²y² + x² − 3xy die partielle Ableitung ∂f/∂x im Punkt (2, −2).

f(x, y) = 2x²y² + x² − 3xyP = (2, −2)
fx(2, −2) =
2.Leicht

Bestimme für f(x, y) = 5xy² + 3x³ − 3y³ + 3xy die gemischte zweite partielle Ableitung ∂²f/∂x∂y bei (−1, −2).

f(x, y) = 5xy² + 3x³ − 3y³ + 3xyP = (−1, −2)
fxy(−1, −2) =
3.Mittel
xy−2−2∇fP

Bestimme für f(x, y) = 2x³y − 4x² + y³ + 3xy die maximale Änderungsrate von f im Punkt (−2, −2), also |∇f|.

f(x, y) = 2x³y − 4x² + y³ + 3xyP = (−2, −2)
|∇f| =
4.Mittel
xy−11P

Die Tangentialebene an z = 2x³e3y im Punkt (x, y) = (−1, 1) lässt sich als z = px + qy + c schreiben. Bestimme c.

f(x, y) = 2x³e3y(a, b) = (−1, 1)
c =
5.Schwer
xy−202−20(1, −2)(−1, −2)

Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 4y, klassifiziere sie und gib den Wert fmax von f an ihrem lokalen Maximum an.

f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 4y
fmax =
6.Schwer
xy−202−101(1, 0)(−1, 0)

f(x, y) = x³ − 3x + y² hat einen kritischen Punkt bei (1, 0). Berechne dort die Diskriminante D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ − 3x + y²P = (1, 0)
D =

Lösungsschlüssel

  1. 1. fx(2, −2) = 42
  2. 2. fxy(−1, −2) = −17
  3. 3. |∇f| = 39,29
  4. 4. c = 200,9
  5. 5. fmax = 6
  6. 6. D = 12

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