Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht
xyx = 1x = 2y = 3y = 11231

Berechne I = ∫12 ∫13 (y + 4) dy dx über das Rechteck 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3.

f = y + 41 ≤ x ≤ 21 ≤ y ≤ 3
I =
2.Leicht
xy23P

Bestimme für f(x, y) = x²y − 3x² − y³ + xy die partielle Ableitung ∂f/∂y im Punkt (2, 3).

f(x, y) = x²y − 3x² − y³ + xyP = (2, 3)
fy(2, 3) =
3.Mittel

z = −xy² + x³ + y³ + xy mit x = −3t + 1 und y = t² − 2. Bestimme mit der Kettenregel dz/dt bei t = 0.

z = −xy² + x³ + y³ + xyx = −3t + 1y = t² − 2t = 0
dz/dt =
4.Mittel
xy−21∇fP

Bestimme für f(x, y) = −4x³y − 5x² + y³ + 4xy die maximale Änderungsrate von f im Punkt (−2, 1), also |∇f|.

f(x, y) = −4x³y − 5x² + y³ + 4xyP = (−2, 1)
|∇f| =
5.Schwer
xy−20202(2, 2)(−2, 2)

Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = x³ − 12x + y² − 4y, klassifiziere sie und gib den Wert fmin von f an ihrem lokalen Minimum an.

f(x, y) = x³ − 12x + y² − 4y
fmin =
6.Schwer
xy−101−101(0, 0)

f(x, y) = −2x² + 3xy − y² − 3 hat einen kritischen Punkt bei (0, 0). Berechne dort die Diskriminante D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = −2x² + 3xy − y² − 3P = (0, 0)
D =

Lösungsschlüssel

  1. 1. I = 12
  2. 2. fy(2, 3) = −21
  3. 3. dz/dt = 9
  4. 4. |∇f| = 36,12
  5. 5. fmin = −20
  6. 6. D = −1

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