Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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Name: ____________________ Datum: ____________

1.Leicht

Berechne I = ∫₀³ ∫₂³ (6y² + 6) dy dx über das Rechteck 0 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 3.

f = 6y² + 60 ≤ x ≤ 32 ≤ y ≤ 3

I =

2.Leicht

Bestimme für f(x, y) = 3 ln(x² + y²) die gemischte zweite partielle Ableitung ∂²f/∂x∂y bei (−1, −1).

f(x, y) = 3 ln(x² + y²)P = (−1, −1)

f_xy(−1, −1) =

3.Mittel

z = −x³y + 2y³ + 3xy mit x = 3t − 2 und y = −2t² + 1. Bestimme mit der Kettenregel dz/dt bei t = 2.

z = −x³y + 2y³ + 3xyx = 3t − 2y = −2t² + 1t = 2

dz/dt =

4.Mittel

z = −3x²y³ − 3y³ + 3xy mit x = −3t und y = −2t² + 2. Bestimme mit der Kettenregel dz/dt bei t = 0.

z = −3x²y³ − 3y³ + 3xyx = −3ty = −2t² + 2t = 0

dz/dt =

5.Schwer

Berechne I = ∬_R x dA mit Polarkoordinaten, wobei R der Viertelkreis der Kreisscheibe x² + y² ≤ 2,25 im ersten Quadranten ist.

f = x0 ≤ r ≤ 1,50 ≤ θ ≤ π/2

I =

6.Schwer

f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 6y hat einen kritischen Punkt bei (3, 3). Berechne dort die Diskriminante D = f_xxf_yy − f_xy².

f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 6yP = (3, 3)

D =

Lösungsschlüssel

1. I = 132
2. f_xy(−1, −1) = −3
3. dz/dt = −991
4. dz/dt = −18
5. I = 1,125
6. D = 36

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